MATEMANIJA

Pozdrav ljudi, nov sam na forumu.
Ovako glasi zadatak sa kolokvijuma pa me zanima na koji nacin biste vi ovo resili: Avion se srusio u jednom od dva razlicita rejona [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath]. Na osnovu podataka koje su prikupili radari, tri puta verovatnije je da se avion srusio u rejonu [inlmath]A[/inlmath] nego u rejonu [inlmath]B[/inlmath]. Spasilacka sluzba salje [inlmath]10[/inlmath] helikoptera u potragu za avionom. Koliko helikoptera treba poslati u rejon [inlmath]A[/inlmath], a koliko u rejonu [inlmath]B[/inlmath] da bi verovatnoca nalazenja aviona bila maksimalna? Svaki helikopter pretrazuje samo jedan rejon sa verovatnocom pronalaska aviona [inlmath]p=0.4[/inlmath] ako je avion u tom rejonu. Helikopteri nezavisno jedan od drugog pretrazuju rejon, a rejoni nemaju zajednickih teritorija.

Ja sam radio ovako (nisam siguran da je tacno):

Neka su dati dogadjaji:
[inlmath]A[/inlmath] - "avion se srusio u rejonu [inlmath]A[/inlmath]" [inlmath]P(A)=\frac{3}{4}[/inlmath]
[inlmath]B[/inlmath] - "avion se srusio u rejonu [inlmath]B[/inlmath]" [inlmath]P(B)=\frac{1}{4}[/inlmath]
[inlmath]H[/inlmath] - "helikopter je pronasao avion" [inlmath]P(H)=\frac{2}{5}[/inlmath]
[inlmath]H_k[/inlmath] - "salje se [inlmath]k[/inlmath] aviona u rejon [inlmath]A[/inlmath]" ; [inlmath]k[/inlmath] ide od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]10[/inlmath]

Kako su [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] cine potpun sistem dogadjaja sledi da je:

[inlmath]P(H_0)=[P(H\mid B)\cdot P(B)]^{10}[/inlmath]
[inlmath]P(H_i)=[P(H\mid A)\cdot P(A)]^i+[P(H\mid B)\cdot P(B)]^{10-i}[/inlmath], [inlmath]i[/inlmath] ide od [inlmath]1[/inlmath] do [inlmath]9[/inlmath]
[inlmath]P(H_{10})=[P(H\mid A)\cdot P(A)]^{10}[/inlmath]

Na kraju se nadje maksimum od ovih [inlmath]11[/inlmath] jednacina. Hvala unapred.

Pozdrav, novi, dobro došao.
Kao što vidiš, malo sam ti doterao Latex, mada se sasvim dobro snalaziš s njim za početak.

Hajde da raščistimo prvo oko ovih oznaka:

DusanStamenkovic je napisao:[inlmath]H[/inlmath] - "helikopter je pronasao avion" [inlmath]P(H)=\frac{2}{5}[/inlmath]

[inlmath]P\left(H\right)=\frac{2}{5}[/inlmath] – to je verovatnoća da je helikopter pronašao avion ako je avion srušen u rejonu tog helikoptera – ovo podvučeno je vrlo bitno, jer to označava da je u pitanju uslovna verovatnoća.

DusanStamenkovic je napisao:[inlmath]H_k[/inlmath] - "salje se [inlmath]k[/inlmath] aviona u rejon [inlmath]A[/inlmath]" ; [inlmath]k[/inlmath] ide od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]10[/inlmath]

Sigurno si mislio [inlmath]k[/inlmath] helikoptera, a ne [inlmath]k[/inlmath] aviona. OK, to je jasno.
Međutim, ako si sa [inlmath]H_k[/inlmath] označio događaj da je u rejon [inlmath]A[/inlmath] poslato [inlmath]k[/inlmath] helikoptera, tada nema smisla govoriti o verovatnoći [inlmath]P\left(H_k\right)[/inlmath], jer bi to bila verovatnoća da u rejon [inlmath]A[/inlmath] šaljemo [inlmath]k[/inlmath] helikoptera.
Da li si možda sa [inlmath]H_k[/inlmath] hteo da obeležiš događaj da je avion pronađen ako se u rejon [inlmath]A[/inlmath] pošalje [inlmath]k[/inlmath] helikoptera?

Molio bih za potvrdu ovoga, pa da nastavimo.

Da, upravo na to sam i mislio, par gresaka u tesktu, shvatih sad kada sam jos jednom procitao

Ovi izrazi za [inlmath]P\left(H_k\right)[/inlmath] ti ne valjaju. [inlmath]P\left(H_k\right)[/inlmath] je, dakle, verovatnoća da će avion biti nađen ako je poslato [inlmath]k[/inlmath] helikoptera u rejon [inlmath]A[/inlmath]. Može se i intuicijom videti da rešenja nisu dobra. Npr. dobio si da je [inlmath]P\left(H_{10}\right)=\left[P\left(H\mid A\right)\cdot P\left(A\right)\right]^{10}[/inlmath], što znači:
[dispmath]P\left(H_{10}\right)=\left[P\left(H\mid A\right)\cdot P\left(A\right)\right]^{10}\le\left[P\left(A\right)\right]^{10}=\left(\frac{3}{4}\right)^{10}\approx0,0563[/dispmath] Prilično mala (pesimistički mala) verovatnoća budući da smo ipak poslali čak [inlmath]10[/inlmath] helikoptera u rejon u kojem se avion nalazi s verovatnoćom od čak [inlmath]75\%[/inlmath].

Verovatnoću događaja [inlmath]H_k[/inlmath] računamo preko formule potpune verovatnoće,
[dispmath]P\left(H_k\right)=P\left(A\right)P\left(H_k\mid A\right)+P\left(B\right)P\left(H_k\mid B\right)[/dispmath] E sada, verovatnoću [inlmath]P\left(H_k\mid A\right)[/inlmath] (tj. verovatnoću da će avion biti pronađen kada se nalazi u rejonu [inlmath]A[/inlmath], a u rejon [inlmath]A[/inlmath] je poslato [inlmath]k[/inlmath] helikoptera) dobijamo kad od jedinice oduzmemo verovatnoću komplementarnog događaja – da nijedan od [inlmath]k[/inlmath] helikoptera u rejonu [inlmath]A[/inlmath] neće naći avion koji se nalazi u rejonu [inlmath]A[/inlmath]:
[dispmath]P\left(H_k\mid A\right)=1-P\left(\overline{H_k}\mid A\right)[/dispmath] Slično i za verovatnoću [inlmath]P\left(H_k\mid B\right)[/inlmath].

Bi li umeo da nađeš verovatnoće [inlmath]P\left(\overline{H_k}\mid A\right)[/inlmath] i [inlmath]P\left(\overline{H_k}\mid B\right)[/inlmath]?

Hvala na brzim odgovorima!
Naravno, sada nije problem da se uradi zadatak

I na kraju, kad dobiješ izraz za traženu verovatnoću u zavisnosti od [inlmath]k[/inlmath], nema potrebe da je računaš za svaku od mogućih [inlmath]11[/inlmath] vrednosti [inlmath]k[/inlmath]. Dovoljno je da nađeš njen prvi izvod po [inlmath]k[/inlmath], izjednačiš ga s nulom i rešiš po [inlmath]k[/inlmath].
Ako nisam nigde kiksno u računu, dobije se [inlmath]k\approx6,075[/inlmath]. Pošto je [inlmath]k[/inlmath] celobrojno, to znači da [inlmath]k[/inlmath] za koje je verovatnoća nalaženja aviona maksimalna može biti ili [inlmath]6[/inlmath] ili [inlmath]7[/inlmath] – s mnogo većom šansom da bude [inlmath]6[/inlmath], ali ipak treba proveriti računajući verovatnoću za [inlmath]k=6[/inlmath] i [inlmath]k=7[/inlmath] i upoređujući dobijene dve vrednosti. Dobije se da verovatnoća zaista jeste maksimalna za [inlmath]k=6[/inlmath] i da tada iznosi [inlmath]P\left(H_6\right)\approx0,933[/inlmath].