MATEMANIJA

Pozdrav svima Evo jednog zadatka.

Data je funkcija
[dispmath]f(x)=\begin{cases}
(1-x)(x-4), & 1\le x\leq4\\
0, & \text{van}
\end{cases}[/dispmath]
a) Da li funkcija [inlmath]g(x)[/inlmath] predstavlja funkciju gustine? (Ako je odgovor pozitivan preći direktno na deo zadatka pod c)
b) Ako je odgovor pod a) negativan, formirati funkciju [inlmath]f(x)[/inlmath] (korigovanjem funkcije [inlmath]g(x)[/inlmath] na celom intervalu [inlmath][1,4][/inlmath] ) koja će imati osobine funkcije gustine za slučajnu veličinu [inlmath]X[/inlmath].
c) Izracunati [inlmath]P(X>3)[/inlmath].

Funkcija zadovoljava uslov da je veca ili jednaka od nule ali ne zadovoljava uslov da integral po oblasti od [inlmath]1[/inlmath] do [inlmath]4[/inlmath] daje rezultat [inlmath]1[/inlmath].
A mozda ovo nisu potrebni uslovi?
E sad problem je sto ne znam kako da korigujem ovu funkciju jer nisam nasao slicne stvari u knjizi a i zbirci.
Hvala unapred.

Marsovac je napisao:[dispmath]{\color{red}f}(x)=\begin{cases}
(1-x)(x-4), & 1\le x\leq4\\
0, & \text{van}
\end{cases}[/dispmath]
a) Da li funkcija [inlmath]{\color{red}g}(x)[/inlmath] predstavlja funkciju gustine?

Pretpostavljam da funkcija koja je zadata nije [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath] već [inlmath]g\left(x\right)[/inlmath], tj.
[dispmath]g\left(x\right)=\begin{cases}
\left(1-x\right)\left(x-4\right), & 1\le x\leq4\\
0, & \text{van}
\end{cases}[/dispmath]

Marsovac je napisao:Funkcija zadovoljava uslov da je veca ili jednaka od nule ali ne zadovoljava uslov da integral po oblasti od [inlmath]1[/inlmath] do [inlmath]4[/inlmath] daje rezultat [inlmath]1[/inlmath].
A mozda ovo nisu potrebni uslovi?

Da, ovo su potrebni uslovi. Što znači da nije dovoljno da bude ispunjen samo jedan od ta dva uslova. Moraju biti ispunjena oba uslova da bi ova funkcija bila funkcija gustine.

Marsovac je napisao:E sad problem je sto ne znam kako da korigujem ovu funkciju jer nisam nasao slicne stvari u knjizi a i zbirci.

Ako se kaže da funkcija treba da bude korigovana na celom intervalu na kojem joj je vrednost različita od nule, to znači da je treba pomnožiti konstantom. Potrebno je da odrediš vrednost te konstante da bi pomenuti integral bio jednak jedinici (i da bi, samim tim, to bila funkcija gustine).

Hvala na odgovoru.
Imam jos jedan zadatak na slicnu temu.

1. I) Funkcija gustine je predstavljena sledećim grafikonom:


Kako da izracunam sa grafika koja je funkcija gustine?

a) Da li funkcija [inlmath]g(x)[/inlmath] predstavlja funkciju gustine? (Ako je odgovor pozitivan preći direktno na deo zadatka pod c)
b) Ako je odgovor pod a) negativan, korigovati funkciju [inlmath]g(x)[/inlmath] isključivo u intervalu [inlmath](3,4)[/inlmath] i na taj način kreirati funkciju [inlmath]f(x)[/inlmath] koja će imati osobine funkcije gustine za slučajnu veličinu [inlmath]X[/inlmath] (nije dozvoljeno menjati uniformni oblik f-je gustine u tom intervalu)
c) Odrediti funkciju raspodele

Mislio sam da ćeš malo još prokomentarisati prethodni zadatak i reći koje si rešenje dobio, kako bismo bili sigurni da si sve lepo razumeo.

U ovom zadatku funkciju možeš očitati (tj. predstaviti je u analitičkom obliku) na sledeći način:
Prvo za segment [inlmath]\left[2,3\right][/inlmath]. Vidi se da je u pitanju linearna funkcija, što znači da se može predstaviti kao [inlmath]g\left(x\right)=kx+n[/inlmath]. Potrebno je odrediti koeficijent pravca [inlmath]k[/inlmath] i slobodan član [inlmath]n[/inlmath]. Iskoristimo poznate koordinate krajnjih tačaka [inlmath]\left(2,\frac{1}{2}\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(3,0\right)[/inlmath], koje uvrštavamo u [inlmath]g\left(x\right)=kx+n[/inlmath]:
[dispmath]\frac{1}{2}=2k+n\\
0=3k+n[/dispmath]
čime smo dobili sistem od dve jednačine s dve nepoznate. Rešavanjem sistema se dobije [inlmath]k=-\frac{1}{2}[/inlmath] i [inlmath]n=\frac{3}{2}[/inlmath], što kad uvrstimo u jednačinu [inlmath]g\left(x\right)=kx+n[/inlmath] daje [inlmath]g\left(x\right)=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}[/inlmath].

Tebi prepuštam da isto tako odrediš analitički oblik funkcije za preostala dva segmenta.

Nakon toga moći ćeš funkciju zapisati u obliku
[dispmath]g\left(x\right)=\begin{cases}
-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}, & 2\le x\le3\\
\cdots & 4\le x\le5\\
\cdots & 6\le x\le7\\
0, & \text{van}
\end{cases}[/dispmath]

---

Ukupnu površinu ispod grafika funkcije možeš odrediti (i time proveriti da li je ovo funkcija gustine) i bez računanja analitičkog oblika. Dovoljno je samo da izračunaš ukupnu površinu između grafika funkcije i [inlmath]x[/inlmath]-ose:


Ukupna površina između grafika funkcije i [inlmath]x[/inlmath]-ose jednaka je zbiru površina crvenog trougla, zelenog pravougaonika i plavog trougla, a njih lako odrediš.
Recimo, za crveni trougao odmah vidiš da je pravougli, s katetama koje iznose [inlmath]1[/inlmath] i [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath], pa je njegova površina jednaka [inlmath]\frac{1}{2}\left(1\cdot\frac{1}{2}\right)[/inlmath], a to je [inlmath]\frac{1}{4}[/inlmath]. Isto tako i za zeleni pravougaonik i za plavi trougao.

---

Ovo pod b) ili je neko trik-pitanje, ili je u tekstu greška. Funkciju ne bi bilo moguće modifikovati u intervalu [inlmath]\left(3,4\right)[/inlmath] tako da ona postane funkcija gustine. Modifikacijom u intervalu [inlmath]\left(4,5\right)[/inlmath] to bi bilo moguće.

Daniel je po mom mišljenju previše blagonaklon.
Odgovorio je iscrpno i detaljno, a od korisika nema reakcije ni na prvi odgovor.
Od mene: Blaga opomena korisniku.
p.s. Površina ispod funkcije gustine mora biti jednaka [inlmath]1[/inlmath] i slovima jedan i to predstavlja normirajući uslov.