MATEMANIJA

Evo mene opet

Nije mi sasvim jasan ovaj dokaz:

Dokazuje se da je ocekivanje sl. promenljive [inlmath]S_n=np[/inlmath], gde [inlmath]S_n[/inlmath] ima binomnu raspodelu.
Po definiciji ocekivanja:
[dispmath]ES_n=\sum_{k=0}^nk{n\choose k}p^k q^{n-k}=\sum_{k=1}^n{n-1\choose k-1}{\color{red}n}p^kq^{n-k}=np\sum_{k=1}^n{n-1\choose k-1}p^{k-1}q^{n-k}=np(p+q)^{n-1}=np[/dispmath]
Prvi korak mi je jasan, u drugom koraku, gde sam zacrvenio [inlmath]n[/inlmath], nije mi jasno odakle tu to [inlmath]n[/inlmath] i gde se izgubilo [inlmath]k[/inlmath] iz prethodnog koraka.

Dakle, buni te jednakost [inlmath]k{n\choose k}={n-1\choose k-1}n[/inlmath].
Do te jednakosti se lako može doći tako što napišemo binomni koeficijent prema formuli [inlmath]{n\choose k}=\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}[/inlmath]:
[dispmath]k{n\choose k}=k\cdot\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}=\cancel k\cdot\frac{n(n-1)!}{(n-k)!\cancel k(k-1)!}=\frac{(n-1)!}{\bigl((n-1)-(k-1)\bigr)!\cdot(k-1)!}\cdot n={n-1\choose k-1}\cdot n[/dispmath]

(Očigledno je da u drugom koraku sumu ne moramo da teramo od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]n[/inlmath] kao što smo činili u prvom koraku, već od [inlmath]1[/inlmath] do [inlmath]n[/inlmath], zbog toga što je za [inlmath]k=0[/inlmath] izraz unutar sume jednak nuli.)

Matematičko očekivanje kao i varijansu (disperziju) lakše je dobiti preko funkcije izvodnice ili karakteristične funkcije metodom Ljapunova.
Ovo važi za svaku raspodelu, ne samo za binomnu.
Inače je gornji postupak sasvim korektan, naravno uz Danielovu korekciju.

Hvala, ukapirah