MATEMANIJA

Sutra mi je rodjendan, pa sam mislio da ne bi bilo lose da sutra nadjete neki tekstualni zadatak u kom se spominje rodjendan i da ga resite.

E pa nek ti je srećan rođendan, a ujedno i srećno punoleCtvo!

O'š recimo ovaj zadatak?

Hvala Daniele
Zadatak moze da prodje. Neshvacen je bas kao sto sam i ja neshvacen.

Rodjendanko, sve najlepse ti zelim A zadatak glasi: koja je verovatnoca da jos neko ima isti dan i mesec rodjenja kao i ti? xD

Dušane, moraš navesti i brojnost populacije koju posmatraš. Svakako neće biti ista verovatnoća ako posmatraš tri osobe i ako posmatraš sedam milijardi ljudi.

Zadatak je iz zbirke, a koliko sam shvatio jedan je povoljan, a [inlmath]366[/inlmath] je mogucih ishoda xD

P.s. Mozda sam prevideo cinjenju - da jos tacno jedna osoba ima isti rodjendan kao nas slavljenik :S

Hvala Dusane!
Znaci, i tebi je danas rodjendan, stvarno, kakva slucajnost.
Sve najlepse ti zelim!
Nisam jos radio verovatnocu u skoli, ali po onome sto si rekao, trebalo bi da je [inlmath]1:366[/inlmath]

Nije mi rodjendan, tema me asocirala na zadatak koji sam nedavno resavao xD

Hahah, mašala.

Pravo pitanje za ovaj rođendanski zadatak je:
Koliko mala grupa ljudi može biti, a da možemo da kažemo da je verovatnoća nalaženja dve osobe sa istim rođendanom veća od [inlmath]50\%[/inlmath]? A koliko da bi verovatnoća bila veća od [inlmath]99\%[/inlmath]?
Brojevi ljudi u takvim grupama su iznenađujuće mali.

Negde sam procitao, da na [inlmath]23[/inlmath] osobe sanse su [inlmath]50\%[/inlmath] da dvoje imaju isti rodjendan

Relativno je lako ovo izračunati, no je potrebno dodefinisati da li je godina prosta ili prestupna.

Ja mislim da je logičnije kao aproksimaciju uzeti prostu godinu (najbolja aproksimacija bi bila srednja vrednost od [inlmath]365,25[/inlmath] dana u godini, ali necelobrojna vrednost bi bila nezgodna za račun zbog faktorijela koji se pojavljuje u računu (ako ne želimo da se služimo Gama-funkcijom)).

ubavic je napisao:Pravo pitanje za ovaj rođendanski zadatak je:
Koliko mala grupa ljudi može biti, a da možemo da kažemo da je verovatnoća nalaženja dve osobe sa istim rođendanom veća od [inlmath]50\%[/inlmath]? A koliko da bi verovatnoća bila veća od [inlmath]99\%[/inlmath]?
Brojevi ljudi u takvim grupama su iznenađujuće mali.

Pretpostaviću da dve osobe znači bar dve osobe, a ne tačno dve osobe.
Ovo je, inače, poznato kao paradoks rođendana. Odredimo prvo verovatnoću da nikoje dve osobe u grupi od [inlmath]n[/inlmath] osoba nemaju rođendan istog dana. To znači da sve osobe u grupi moraju imati različite datume rođendana. Broj takvih (povoljnih) slučajeva jeste broj varijacija bez ponavljanja od [inlmath]365[/inlmath] elemenata klase [inlmath]n[/inlmath], dok je broj ukupnih slučajeva broj varijacija s ponavljanjem od [inlmath]365[/inlmath] elemenata klase [inlmath]n[/inlmath]. Verovatnoća da nikoje dve osobe nemaju rođendan istog dana jednak je količniku broja povoljnih i broja ukupnih slučajeva:
[dispmath]P_1=\frac{V_{365}^n}{\overline V_{365}^n}=\frac{365!}{(365-n)!\cdot365^n}[/dispmath] pa je verovatnoća komplementarnog događaja, tj. verovatnoća da bar dve osobe imaju rođendan istog dana, jednaka
[dispmath]P=1-P_1\\
\enclose{box}{P=1-\frac{365!}{(365-n)!\cdot365^n}}[/dispmath] Isprobavanjem za razne vrednosti [inlmath]n[/inlmath] dobije se da, kako je Dušan i napisao, za [inlmath]n=23[/inlmath] tražena verovatnoća iznosi [inlmath]P\approx50,73\%[/inlmath], dok za [inlmath]n=57[/inlmath] tražena verovatnoća iznosi [inlmath]P\approx99,01\%[/inlmath].
Zanimljivo je da će već za [inlmath]n=100[/inlmath] osoba u grupi verovatnoća da će bar dve imati rođendan istog dana iznositi neverovatnih [inlmath]P\approx99,99997\%[/inlmath]. Znači, praktično siguran događaj.

Za broj osoba veći od [inlmath]365[/inlmath], naravno, stupa na snagu Dirihleov princip koji kaže da bar dve moraju imati rođendan istog dana.

dusan91 je napisao:P.s. Mozda sam prevideo cinjenju - da jos tacno jedna osoba ima isti rodjendan kao nas slavljenik :S

Pa stvarno, Dušane, pročitavši ovo i ja sam pomislio isto što i Pentagram.
Nema veze, čestitaćemo ti rođendan drugi put.