MATEMANIJA

Opet ja, malo da vas smaram svojim domacim zadacima koje ne razumem
Zadatak glasi :
Od svih prirodnih brojeva koji nisu veci od [inlmath]10^m[/inlmath] bira se jedan na slucajan nacin. Odrediti verovatnocu da u zapisu trazenog broja ne figurise cifra [inlmath]5[/inlmath].
Ja ovo pokusao da uradim najpoznatijim metodom resavanja u matematici - takozvani metod koriscenja mozga.
Prebrojimo sve koji nemaju peticu u sebi i podelimo sa [inlmath]10^m[/inlmath] kao odnos povoljnih i ukupnih slucajeva.
Brojeva koji su manji ili jednaki od [inlmath]10^m[/inlmath] ima [inlmath]8\cdot9\cdot9\cdots\cdot9[/inlmath] zato sto prva cifra ne sme da bude nula ni pet, a ostale ne smeju biti pet.
Vidimo da je broj koji figurise koliko ima devetki u proizvodu jednak [inlmath]m-1[/inlmath] pa je trazena verovatnoca jednaka [inlmath]p=\frac{8\cdot9^{m-1}}{10^m}=\frac{9^m-9^{m-1}}{10^m}[/inlmath].
Dok je resenje u zbirci naravno drugacije i iznosi [inlmath]p=\frac{9^m-1}{10^m}[/inlmath].
Verovatno pravim propust negde ali to ne vidim, dok je isto toliko verovatno da zbirka pravi propust, dok je isto toliko verovatno da ja ne vidim da su ova dva rezultata jedno te isto.
Skoro sam skapirao da su kombinatorika i verovatnoca jedne od lepsih matematickih oblasti, samo imaju jednu manu - ako nesto ima logike - onda je pogresno .
Hvala vam

Gekko je napisao:Skoro sam skapirao da su kombinatorika i verovatnoca jedne od lepsih matematickih oblasti, samo imaju jednu manu - ako nesto ima logike - onda je pogresno .

Ovo mi zvuči kao neki od Murphyjevih zakona, a čija je osnova „ako nešto može krenuti naopako, krenuće naopako“ – iz koje slede svi ostali Murphyjevi postulati.

Gekko je napisao:Brojeva koji su manji ili jednaki od [inlmath]10^m[/inlmath] ima [inlmath]8\cdot9\cdot9\cdots\cdot9[/inlmath] zato sto prva cifra ne sme da bude nula ni pet, a ostale ne smeju biti pet.

Prva cifra može biti nula. Nigde nije rečeno da broj mora biti [inlmath]m[/inlmath]-tocifren, rečeno je samo da ne sme biti veći od [inlmath]10^m[/inlmath]. To znači (ako su u pitanju prirodni brojevi), da su u razmatranju brojevi [inlmath]1,2,3,\ldots,8,9,10,11,\ldots,10^m-2,10^m-1,10^m[/inlmath].

Gekko je napisao:Vidimo da je broj koji figurise koliko ima devetki u proizvodu jednak [inlmath]m-1[/inlmath] pa je trazena verovatnoca jednaka [inlmath]p=\frac{8\cdot9^{m-1}}{10^m}=\frac{9^m-9^{m-1}}{10^m}[/inlmath].
Dok je resenje u zbirci naravno drugacije i iznosi [inlmath]p=\frac{9^m-1}{10^m}[/inlmath].
Verovatno pravim propust negde ali to ne vidim, dok je isto toliko verovatno da zbirka pravi propust, dok je isto toliko verovatno da ja ne vidim da su ova dva rezultata jedno te isto.

Na tvoj propust sam ti već ukazao, ali bih rekao da i zbirka pravi propust. Uvrstimo [inlmath]m=1[/inlmath] u to rešenje u zbirci. Dobijamo da je verovatnoća jednaka [inlmath]\frac{8}{10}[/inlmath]. Međutim, jasno je da verovatnoća mora biti [inlmath]\frac{9}{10}[/inlmath] – povoljni slučajevi su [inlmath]1,2,3,4,6,7,8,9,10[/inlmath] (ukupno [inlmath]9[/inlmath]), a svi slučajevi su [inlmath]1,2,3,4,5,6,7,8,9,10[/inlmath] (ukupno [inlmath]10[/inlmath]).
Rešenje koje ja dobijam je [inlmath]\left(\frac{9}{10}\right)^m[/inlmath].