MATEMANIJA

Kolika je verovatnoca da na [inlmath]3[/inlmath] bacene kocke padne zbir [inlmath]7[/inlmath]?

Na [inlmath]3[/inlmath] bacene kocke ima [inlmath]6^3=216[/inlmath] ishoda.
Dobio sam da ima [inlmath]15[/inlmath] mogucih kombinacija da od [inlmath]3[/inlmath] kocke padne zbir [inlmath]7[/inlmath].
Da li je resenje [inlmath]\frac{15}{216}[/inlmath]?
Hvala

Mislim da ti je ispravno rešenje.

Da, [inlmath]\frac{15}{216}=\frac{5}{72}[/inlmath] je tačno rešenje. Do broja povoljnih slučajeva može se doći jednostavnim prebrojavanjem mogućnosti, budući da ih nema puno:
[dispmath]\begin{array}{l}
115 & 124 & 133 & 142 & 151\\
214 & 223 & 232 & 241 & 313\\
322 & 331 & 412 & 421 & 511
\end{array}[/dispmath] A ako više volimo da radimo određenom metodom nego pukim prebrojavanjem, možemo postaviti analogiju s raspoređivanjem [inlmath]7[/inlmath] identičnih kuglica u [inlmath]3[/inlmath] različite kutije (kuglice odgovaraju brojevima na kockama a kutije odgovaraju kockama), pri čemu se u svakoj kutiji mora nalaziti bar jedna kuglica (jer je najmanji broj na svakoj kocki [inlmath]1[/inlmath]).
Dakle, nakon što smo u svaku od [inlmath]3[/inlmath] kutije stavili po jednu kuglicu, tražimo broj načina na koje možemo preostale [inlmath]4[/inlmath] kuglice rasporediti u te [inlmath]3[/inlmath] kutije.
A to je onda broj kombinacija s ponavljanjem od [inlmath]3[/inlmath] elementa [inlmath]4.[/inlmath] klase:
[dispmath]\overline C_3^4={3+4-1\choose4}={6\choose2}=15[/dispmath] Preostalo je još ovaj broj povoljnih slučajeva podeliti brojem ukupnih slučajeva, [inlmath]6^3=216[/inlmath]...

Kod rešenja sa kombinacijama sa ponavljanjem treba paziti na uslov odozdo (da ne može na kockici za Yamb pasti broj [inlmath]0[/inlmath] ili manji) koji je ispoštovan, ali i na uslov odozgo (da ne može na kockici za Yamb da padne broj [inlmath]7[/inlmath] ili veći) za koji mislim da nije ispoštovan.

U ovom primeru sa tri kockice je tražen relativno mali zbir od svega [inlmath]7[/inlmath], tako da je ispoštovani uslov odozdo sprečio lažne kombinacije iz neispoštovanog uslova odozgo.
Nemoguća je lažna kombinacija [inlmath]7-0-0[/inlmath], jer ju je sprečio ispoštovan uslov odozdo.

Da je traženo da zbir na tri kockice bude [inlmath]9[/inlmath], dobili bi automatizmom rešenje od [inlmath]28[/inlmath] kombinacija, a rešenje je [inlmath]25[/inlmath] kombinacija.
Među tih [inlmath]28[/inlmath] su se uvukle i tri lažne kombinacije:
[inlmath]7-1-1\\
1-7-1\\
1-1-7[/inlmath]

U opštem slučaju mora da se koristi princip uključenja-isključenja.

Kad stignem, poslaću detaljno rešenje za primer kada se bacaju [inlmath]4[/inlmath] kockice a tražen je zbir [inlmath]14[/inlmath]. To je najverovatniji zbir na [inlmath]4[/inlmath] kockice.

miki069 je napisao:Kod rešenja sa kombinacijama sa ponavljanjem treba paziti na uslov odozdo (da ne može na kockici za Yamb pasti broj [inlmath]0[/inlmath] ili manji) koji je ispoštovan, ali i na uslov odozgo (da ne može na kockici za Yamb da padne broj [inlmath]7[/inlmath] ili veći) za koji mislim da nije ispoštovan.

To svakako. Smatrao sam da je ovde očigledno da nijedan od tri sabiraka ionako ne može biti [inlmath]7[/inlmath] ili veći (a da preostala dva sabirka budu najmanje [inlmath]1[/inlmath]), tako da to nisam ni naglašavao. Ali, slažem se, potrebno je i to naglasiti. Hvala na napomeni.