MATEMANIJA

Zadatak: Kutija sadrži [inlmath]3[/inlmath] bele, [inlmath]4[/inlmath] crne i [inlmath]5[/inlmath] plavih kuglica. Izvlače se tri kuglice bez vraćanja. Odrediti verovatnoću da treća kuglica nije plava, ako prva nije bela i druga nije crna.

Ovaj zadatak sam našao dok sam se spremao za takmičenje. Pokušao sam da ga rešim tako što sam razmatrao slučajeve kada se u prvom koraku bira crna kuglica (verovatnoća [inlmath]\frac{4}{12}[/inlmath]) ili plava kuglica (verovatnoća [inlmath]\frac{5}{12}[/inlmath]). Zatim u drugom koraku se bira bela ili plava kuglica za svaki od prethodnih koraka posebno (pri čemu smo izbacili kuglicu koju smo uzeli u prethodnom koraku). I na kraju se bira kuglica koja nije plava od preostalih kuglica u trećem koraku. Ja dobijam rešenje [inlmath]\frac{41}{131}[/inlmath], a u rešenjima je [inlmath]\frac{41}{67}[/inlmath].
Zanima me gde grešim.


P. S. Ovo mi je prva objava na forumu. Izvinjavam se ako sam prekršio neko pravilo.

Dobro došao na forum.

Ja dobijam [inlmath]\frac{41}{67}[/inlmath], kao što je i u rešenju. Nisi dovoljno detaljno naveo svoj postupak da bih ti mogao precizno ukazati na grešku, ali imam utisak da si, umesto da tražiš verovatnoću da treća nije plava nakon što prva nije bela i druga nije crna, ti zapravo tražio verovatnoću da prva nije bela, da druga nije crna i da treća nije plava (mada bi u tom slučaju trebalo da si dobio [inlmath]\frac{41}{132}[/inlmath], a ne [inlmath]\frac{41}{131}[/inlmath]).
U ovom zadatku je potrebno da koristiš formulu uslovne verovatnoće, [inlmath]P(B/A)\;\overset{\text{def}}{=\!=}\;\frac{P(A\cap B)}{P(A)}[/inlmath].

Daniel je napisao:Dobro došao na forum.

Hvala

U pravu ste. Trebalo je da se ovaj rezultat koji sam ja dobio podeli sa verovatnoćom da u prvom koraku nije bela, a u drugom nije crna

Nema potrebe za persiranjem. Tako je, u gorepomenutoj formuli za uslovnu verovatnoću, [inlmath]A[/inlmath] je događaj da prva izvučena kuglica nije bela i da druga nije crna, dok je [inlmath]B[/inlmath] događaj da treća izvučena kuglica nije plava.

Ako bi računao [inlmath]P\left(\overline B/A\right)[/inlmath] (verovatnoću komplementarnog događaja – da treća kuglica jeste plava, ako prva nije bela i druga nije crna), došao bi do rezultata [inlmath]\frac{26}{67}[/inlmath], što se s rezultatom [inlmath]\frac{41}{67}[/inlmath] dopunjuje do jedinice, a to je dobra potvrda da ti je rezultat [inlmath]\frac{41}{67}[/inlmath] tačan.

Da si sličan princip (nalaženje verovatnoće komplementarnog događaja) primenio na svoj prvobitni postupak, dobio bi neku verovatnoću koja u zbiru s tvojom ne bi dala jedinicu, a to ti onda odmah govori da rezultat nije ispravan. Zato preporučujem, ukoliko vreme dozvoljava, da ovaj postupak primeniš kako bi proverio svoje rešenje.