MATEMANIJA

Pozdrav svima!
Potrebna mi je pomoc oko zadatka:

Strijelac pogađa metu sa vjerovatnoćom [inlmath]p[/inlmath]. Dobio je tri metka i kada ih potroši dobiće još onoliko metaka koliko je pogodaka postigao u prva tri gađanja, pa će onda ispaliti u metu i te metke koje dobije poslije prve serije. Neka je slučajna promenljiva koja predstavlja ukupan broj pogodaka u metu. Odrediti zakon raspodjele vjerovatnoća slučajne promjenljive i izračunati njeno matematičko očekivanje i disperziju.

Naime, disperziju i matematicko ocekivanje bih znao izracunati, ali mi problem stvara zakon raspodjele vjerovatnoca. Prema tekstu zadatka minimalan broj pogodaka bi bio [inlmath]0[/inlmath], a najveci [inlmath]6[/inlmath]. Zbunjuje me cinjenica da nije navedena konkretna vrijednost vjerovatnoce pogotka ili promasaja ili se podrazunijeva da su jednake. Da li se u ovom zadatku moze primijeniti binomna raspodjela? Unaprijed hvala.

Tako je, radi se preko binomne raspodele. Ne treba da te buni to što za [inlmath]p[/inlmath] nije zadata konkretna vrednost, zadatak se rešava u opštim brojevima. To je dosta praktično, jer u slučaju da imaš više strelaca i da svaki od njih ima različitu verovatnoću pogotka, da ne bi vršio zaseban proračun za svakog od njih, ovime se lepo odradi račun za neko opšte [inlmath]p[/inlmath], pa se posle za svakog od tih strelaca samo uvrštava njegova vrednost [inlmath]p[/inlmath] u dobijeni rezultat.

Radi lakšeg zapisa, da za verovatnoću promašaja ne bismo stalno pisali [inlmath](1-p)[/inlmath], praksa je da se za tu verovatnoću uvede oznaka [inlmath]q[/inlmath] (pri čemu je, dakle, [inlmath]q=1-p[/inlmath]).

Slučajevi za [inlmath]2[/inlmath], [inlmath]3[/inlmath] ili [inlmath]4[/inlmath] pogotka su nešto složeniji, tako da ću ti pokazati postupak za, recimo, [inlmath]X=3[/inlmath] ([inlmath]3[/inlmath] pogotka), čisto da vidiš princip.
[inlmath]3[/inlmath] pogotka uključuju dva slučaja. Prvi slučaj je da je strelac prilikom prva tri pokušaja ostvario sva tri pogotka, a potom, sa ona tri dodatna metka, sva tri gađanja promašio. Drugi slučaj je da je u prva tri pokušaja ostvario dva pogotka, a zatim, s ona dva dodatna metka, imao jedan pogodak.

• Verovatnoća prvog slučaja za [inlmath]X=3[/inlmath] bila bi proizvod verovatnoće da je u prva tri gađanja imao tri pogotka ([inlmath]p^3[/inlmath]), a sa tri dodatna metka sva tri puta promašio ([inlmath]q^3[/inlmath]). Dakle, verovatnoća prvog slučaja je [inlmath]p^3q^3[/inlmath].
• Verovatnoća drugog slučaja za [inlmath]X=3[/inlmath] bila bi proizvod verovatnoće da je u prva tri gađanja imao dva pogotka ([inlmath]3p^2q[/inlmath]), a sa dva dodatna metka jednom pogodio a jednom promašio ([inlmath]2pq[/inlmath]). Dakle, verovatnoća drugog slučaja je [inlmath]3p^2q\cdot2pq[/inlmath], što je jednako [inlmath]6p^3q^2[/inlmath].

Zatim saberemo verovatnoću prvog i verovatnoću drugog slučaja i konačno za [inlmath]X=3[/inlmath] dobijemo: [inlmath]P(X=3)=p^3q^3+6p^3q^2[/inlmath].

Postupak za ostale vrednosti slučajne promenljive [inlmath]X[/inlmath] trebalo bi da je jednostavniji, tako da ako si ovaj primer razumeo, ne bi trebalo da ti bude problem da odradiš i ostalo.