MATEMANIJA

Na avion se ispaljuju [inlmath]2[/inlmath] hica. Verovatnoća pogađanja aviona prvim hicem iznosi [inlmath]0.3[/inlmath], a drugim [inlmath]0,6[/inlmath]. Ako avion pogodi jedan hitac, verovatnoća pada aviona je [inlmath]0,4[/inlmath], a ako ga pogode [inlmath]2[/inlmath] hica, verovatnoća pada je [inlmath]0,8[/inlmath]. Ako ga nijedan hitac ne pogodi, avion neće pasti. Kolika je verovatnoća da avion padne?

Kod ovog zadatka mi samo nije bio jasan sledeći deo:

Izdvojio sam 3 hipoteze:

• [inlmath]H_0[/inlmath] - avion je pogođen sa [inlmath]0[/inlmath] hitaca
• [inlmath]H_1[/inlmath] - avion je pogođen sa [inlmath]1[/inlmath] hicem
• [inlmath]H_2[/inlmath] - avion je pogođen sa [inlmath]2[/inlmath] hica

E sad, kad određujem verovatnoću [inlmath]P(Ho)[/inlmath], zbog čega je greška da kažem da ako je verovatnoća pogađanja prvim hicem [inlmath]0,3[/inlmath], njegova šansa da ne pogodi tj. da omaši avion [inlmath]0,7[/inlmath] i da je šansa drugog hica da ne pogodi avion [inlmath]0,4[/inlmath], iz čega bi sledilo da je [inlmath]P(H_0)=0,11[/inlmath] (sabrao sam šanse da ga oba ne pogode, ne pomnožio) što je u potpunosti netačno, a deluje mi skroz logičan postupak.

U rešenju su to isto uradili, samo su pomnožili, ali zbog čega je greška da ih saberemo?

Postoje pravilo sabiranja i pravilo množenja verovatnoća.

Pravilo sabiranja: Pri traženju verovatnoće da se desio jedan ili drugi događaj, verovatnoće događaja koji su međusobno disjunktni (što znači da ako se desio jedan tada se ne može desiti drugi, tj. verovatnoća njihovog preseka je nula) – međusobno se sabiraju.
(Kada događaji nisu disjunktni, tada se njihove verovatnoće sabiraju, nakon čega od dobijenog zbira verovatnoća treba oduzeti verovatnoću njihovog preseka.)
Primer: verovatnoća da je pri bacanju kockice dobijena trojka ili je dobijen paran broj (događaji su međusobno disjunktni, jer ako je ispala trojka znači da nije ispao paran broj i obratno) – treba sabrati verovatnoću da je dobijena trojka, [inlmath]\frac{1}{6}[/inlmath], i verovatnoću da je dobijen paran broj, [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath]. Nekako je i intuitivno jasno da verovatnoća da se desio neki od ova dva događaja mora biti veća i od verovatnoće jednog i od verovatnoće drugog događaja – pa je i logično da se sabiraju.

Pravilo množenja: Pri traženju verovatnoće da se desio i jedan i drugi događaj, verovatnoće događaja koji su međusobno nezavisni (što znači da ostvarenje jednog događaja ne menja verovatnoću onog drugog) – međusobno se množe.
Primer: Bacaju se dve kockice, plava i crvena (ishodi bacanja su međusobno nezavisni, jer ishod na jednoj kockici nema uticaja na ishod na drugoj). Traži se verovatnoća da će na plavoj kockici ispasti trojka a na crvenoj paran broj – verovatnoću da je na plavoj kockici ispala trojka, [inlmath]\frac{1}{6}[/inlmath], treba pomnožiti verovatnoćom da je na crvenoj ispao paran broj, [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath]. I ovde je intuitivno jasno da verovatnoća da su se desila oba događaja mora biti manja i od verovatnoće jednog i od verovatnoće drugog događaja, pa je onda i logično, pošto su verovatnoće u intervalu [inlmath][0,1][/inlmath], da se one moraju množiti.

U ovom tvom primeru, verovatnoća pogotka drugim hicem se ne menja, nezavisno od toga da li je avion pri prvom hicu pogođen ili ne, prema tome, ti događaji su nezavisni. A množe se, jer je hipotezom [inlmath]H_0[/inlmath] pretpostavljeno da se desio i jedan i drugi promašaj (dakle, ne samo jedan od ta dva promašaja).
Uostalom, šta da je u zadatku recimo dato da je verovatnoća pogotka prvim hicem [inlmath]0,6[/inlmath], a verovatnoća pogotka drugim hicem [inlmath]0,8[/inlmath]? Da si ih sabrao, koliku bi verovatnoću dobio?

Sad je puno jasnije, hvala!

Daniel je napisao:Uostalom, šta da je u zadatku recimo dato da je verovatnoća pogotka prvim hicem [inlmath]0,6[/inlmath], a verovatnoća pogotka drugim hicem [inlmath]0,8[/inlmath]? Da si ih sabrao, koliku bi verovatnoću dobio?

Dobio bih verovatnoću veću od [inlmath]1[/inlmath], što naravno nije moguće.

Tek sad videh da si ovde napravio grešku u sabiranju,

Acim je napisao:njegova šansa da ne pogodi tj. da omaši avion [inlmath]0,7[/inlmath] i da je šansa drugog hica da ne pogodi avion [inlmath]0,4[/inlmath], iz čega bi sledilo da je [inlmath]P(H_0)=0,11[/inlmath] (sabrao sam šanse da ga oba ne pogode, ne pomnožio)

jer sabiranjem ove dve vrednosti ne bi se dobilo [inlmath]0,11[/inlmath] već [inlmath]1,1[/inlmath] (što je, kako si i sam primetio, nemoguća vrednost za verovatnoću).

Čisto da upotpunim odgovor – da se u tvom zadatku recimo tražila verovatnoća da će u bar jednom od ta dva gađanja doći do promašaja (tj. da je promašeno pri prvom ili pri drugom gađanju), tada bismo zaista sabirali ove dve verovatnoće promašaja, ali nakon toga, pošto ova dva događaja nisu međusobno disjunktna (tj. ostvarenje jednog ne isključuje mogućnost ostvarenja drugog), moramo od dobijenog zbira oduzeti verovatnoću njihovog preseka (tj. da je oba puta promašeno). Znači, verovatnoća bar jednog promašaja bila bi [inlmath]0,7+0,4-0,7\cdot0,4=1,1-0,28=0,82[/inlmath].

Daniel je napisao:Tek sad videh da si ovde napravio grešku u sabiranju,

Izvinjavam se, lapsus.

Hvala puno, sada je u potpunosti jasno. Pitao bih samo još ovo - Kako bih intuitivno mogao da znam kada treba da množim presek, a kada da iskoristim formulu da je:
[dispmath]P(A_1A_2)=P(A_1)+P(A_2)-P(A_1\cup A_2)[/dispmath] Naime, profesorka nam je rekla da čim vidimo da piše "nezavisno" da odmah mogu da se preseci množe. Ali u ovom zadatku, iako nije naglašeno da je ispaljivanje hitaca nezavisno, njihovi preseci su se opet množili.

Ne mora uvek ni da bude naglašeno. Nekad se očekuje da i sam zaključiš da su događaji nezavisni, kao što je ovde slučaj. To hoće li pri jednom gađanju biti pogodak ili promašaj, uopšte ne utiče na verovatnoću pogotka u drugom gađanju. Prema tome, ti događaji su međusobno nezavisni.

Primer nezavisnih događaja pri bacanju kockica bio bi:
[inlmath]A[/inlmath] – dobijen je paran broj;
[inlmath]B[/inlmath] – dobijen je broj manji od [inlmath]3[/inlmath].
Verovatnoća događaja [inlmath]A[/inlmath] (dobijanja parnog broja) i inače je [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath], a nakon što se desio događaj [inlmath]B[/inlmath] (dobijen broj manji od [inlmath]3[/inlmath]), verovatnoća da je taj dobijen broj paran i dalje je [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath].
Isto tako, verovatnoća događaja [inlmath]B[/inlmath] (dobijanja broja manjeg od [inlmath]3[/inlmath]) i inače je [inlmath]\frac{1}{3}[/inlmath], a nakon što se desio događaj [inlmath]A[/inlmath] (dobijen paran broj), verovatnoća da je taj dobijen broj manji od [inlmath]3[/inlmath] i dalje je [inlmath]\frac{1}{3}[/inlmath].
Prema tome, ova dva događaja su međusobno nezavisna.

S druge strane, primer međusobno zavisnih događaja pri bacanju kockica bio bi:
[inlmath]A[/inlmath] – dobijen je paran broj;
[inlmath]B[/inlmath] – dobijen je broj manji od [inlmath]4[/inlmath].
Verovatnoća događaja [inlmath]A[/inlmath] (dobijanja parnog broja) inače je [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath], a nakon što se desio događaj [inlmath]B[/inlmath] (dobijen broj manji od [inlmath]4[/inlmath]), verovatnoća da je taj dobijen broj paran opada na [inlmath]\frac{1}{3}[/inlmath].
Isto tako, verovatnoća događaja [inlmath]B[/inlmath] (dobijanja broja manjeg od [inlmath]4[/inlmath]) inače je [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath], a nakon što se desio događaj [inlmath]A[/inlmath] (dobijen paran broj), verovatnoća dobijanja broja manjeg od [inlmath]4[/inlmath] takođe opada na [inlmath]\frac{1}{3}[/inlmath].
Prema tome, ova dva događaja su međusobno zavisna.