MATEMANIJA

Greška zaokruživanja svakog sabirka ima uniformnu raspodelu [inlmath]U\left(-\frac{1}{2}\cdot10^{-2},\frac{1}{2}\cdot10^{-2}\right)[/inlmath] i nezavisna je od sabirka do sabirka. Ako se ukupna greška dobija sabiranjem pojedinačnih grešaka, odrediti koliko najviše sabiraka sme da se sabere da bi apsolutna vrednost ukupne greške bila manja od [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath] sa verovatnoćom [inlmath]95\%[/inlmath]?

Tačno rešenje: [inlmath]n<7809[/inlmath]

Ja sve vreme dobijam [inlmath]7840[/inlmath].
Postupak:
Znamo da je očekivanje svakog pojedinačnog sabirka koje ima uniformnu raspodelu [inlmath]\frac{a-b}{2}[/inlmath], što iznosi [inlmath]0[/inlmath] i da se analogno tome disperzija računa kao [inlmath]\frac{(b-a)^2}{12}[/inlmath], što iznosi [inlmath]0.0000083[/inlmath].

Dalje, prema uslovu zadatka imamo:
[dispmath]P\left(\left|\sum_{i=1}^n(x_i)\right|<\frac{1}{2}\right)=0.95[/dispmath][dispmath]P\left(\left|\frac{\sum(x_i)}{\sqrt{n\cdot0.0000083}}\right|<\frac{1}{2\sqrt{n\cdot0.0000083}}\right)=0.95[/dispmath][dispmath]2\Phi\left(\frac{1}{0.005761944116\sqrt{n}}\right)-1=0.95[/dispmath] Odakle dobijam da mi je samo [inlmath]n[/inlmath] pogrešno rešenje koje sam naveo gore. Proveravao sam računski postupak više puta i sve vreme isto dobijam. Pisao sam cele cifre, kako je na digitronu ispisalo da eventualno ne ispadne zbog toga razlika, ali opet mi se negde "potkrala" greška koju ne uspevam da pronađem.

Greška ti je u tome što si [inlmath]\frac{(b-a)^2}{12}[/inlmath] zaokružio na samo dve značajne cifre.
Napisao si da je to jednako [inlmath]0.0000083[/inlmath], a to je zapravo [inlmath]0.00000833333\ldots[/inlmath]
Potrebno je da disperziju, umesto što je računaš (čime unosiš grešku), lepo ostaviš napisanu kao [inlmath]\frac{10^{-4}}{12}[/inlmath], na taj način se u račun ne unosi nikakva greška:
[dispmath]2\Phi\left(\frac{1}{2\sqrt{n\frac{10^{-4}}{12}}}\right)-1=0,95[/dispmath] I time dobiješ da je [inlmath]n<7809,246[/inlmath], a pošto je [inlmath]n[/inlmath] prirodan broj, to znači [inlmath]n\le7809[/inlmath] (a ne [inlmath]n<7809[/inlmath] kako piše u rešenju).

Mada, već da si disperziju napisao s četiri značajne cifre, tj. [inlmath]0,000008333[/inlmath], dobio bi [inlmath]n<7809,559[/inlmath], što daje tačan rezultat [inlmath]n\le7809[/inlmath]. Ali opet, nimalo ne preporučujem takve nepotrebne aproksimacije u toku računa. Ostavi ti disperziju kao [inlmath]\frac{10^{-4}}{12}[/inlmath], a aproksimacije, ako budu potrebne, ostavi za sâm kraj postupka. Ne samo u ovom zadatku, nego i inače.