MATEMANIJA

U jednoj školi težina dečaka ([inlmath]\text{kg}[/inlmath]) ima raspodelu [inlmath]X\colon N(50,2.5)[/inlmath], a devojčice [inlmath]Y\colon N(45,3)[/inlmath]. Na slučajan način je odabran dečak i, nezavisno, devojčica. Kolika je verovatnoća da će dečak imati barem [inlmath]3\text{ kg}[/inlmath] više od devojčice?

Rešenje ovog zadatka u zbirci nije predstavljeno. Nemam nikakvu ideju kako bih mogao da ga rešim. Jedino što mi je došlo od ideje je da traženu verovatnoću zapišem kao [inlmath]P(X>3Y)[/inlmath], pri čemu mi je [inlmath]X[/inlmath] težina dečaka, a [inlmath]Y[/inlmath] težina devojčice. E sad, mislim da mi je tu i greška, ali ne bih znao kako to ispravno da zapišem, da će dečak imati barem [inlmath]3\text{ kg}[/inlmath] više od devojčice. Sa [inlmath]3[/inlmath] sam množio raspodelu iz [inlmath]Y[/inlmath] i dobijam da je [inlmath]Y\colon N(135,9)[/inlmath],
Ali onda kada prebacim to [inlmath]Y[/inlmath] na drugu stranu, tj. [inlmath]P(X-Y>0)[/inlmath] (kako bih dobio novu raspodelu) dobiću negativnu jel'te, tako da je moj način definitivno pogrešan.

U međuvremenu mi je pala na pamet ideja ali ne znam da li je ispravno.

Ostaje isto, [inlmath]X[/inlmath] predstavlja težinu jednog dečaka, dok [inlmath]Y[/inlmath] predstavlja težinu devojčice.

E sad, uradio sam sledeće:
[dispmath]P(X-Y>3)[/dispmath] Tj. da kada od težine tog izabranog dečaka oduzmemo težinu izabrane devojčice da ta razlika bude veća od [inlmath]3[/inlmath] tj. da dečak ima barem [inlmath]3\text{ kg}[/inlmath] više od devojčice. Kad se izraz sredi i izračuna dobija se da je tražena verovatnoća [inlmath]0.6950[/inlmath].
Ali, pod znakom pitanja ostaje da li sam ja proizvoljno mogao da nazovem [inlmath]X[/inlmath] težinom dečaka i [inlmath]Y[/inlmath] težinom devojčice, jer mi nije to bilo naglašeno u tekstu zadatka, već da su [inlmath]X[/inlmath] i [inlmath]Y[/inlmath] raspodele.

Ovaj drugi način je u redu, upravo tako se i radi. Dakle, definišeš novu slučajnu promenljivu, [inlmath]D=X-Y[/inlmath], koja predstavlja razliku u težini slučajno odabranog dečaka i slučajno odabrane devojčice. Pri tome, [inlmath]E(D)=E(X)-E(Y)[/inlmath], dok se disperzije sabiraju (jer su [inlmath]X[/inlmath] i [inlmath]Y[/inlmath] međusobno nezavisne): [inlmath]D(D)=D(X)+D(Y)[/inlmath].
I onda tražiš [inlmath]P(D>3)[/inlmath].

---

Što se tiče prvog načina koji si predložio,

Acim je napisao:Jedino što mi je došlo od ideje je da traženu verovatnoću zapišem kao [inlmath]P(X>3Y)[/inlmath], pri čemu mi je [inlmath]X[/inlmath] težina dečaka, a [inlmath]Y[/inlmath] težina devojčice.

To bi predstavljalo verovatnoću da je dečak tri puta teži od devojčice, što je, složićeš se, vrlo malo verovatno.

Acim je napisao:Sa [inlmath]3[/inlmath] sam množio raspodelu iz [inlmath]Y[/inlmath] i dobijam da je [inlmath]Y\colon N(135,9)[/inlmath],

Čak i kada bi [inlmath]Y[/inlmath] trebalo množiti sa [inlmath]3[/inlmath], bilo bi [inlmath]E(3Y)=3E(Y)[/inlmath] ali se disperzija ne bi jednostavno množila tri puta jer bi ona iznosila [inlmath]D(Y+Y+Y)[/inlmath], a pošto [inlmath]Y[/inlmath] nije nezavisna od same sebe, tada se ne bi smelo primeniti prosto sabiranje disperzija.

Acim je napisao:Ali onda kada prebacim to [inlmath]Y[/inlmath] na drugu stranu, tj. [inlmath]P(X-Y>0)[/inlmath] (kako bih dobio novu raspodelu) dobiću negativnu jel'te, tako da je moj način definitivno pogrešan.

Dobio bi da je [inlmath]E(X-Y)[/inlmath] negativno, ali to ne znači da bi verovatnoća [inlmath]P(X-Y>0)[/inlmath] bila negativna. Ali, dobilo bi se da je ta verovatnoća vrlo bliska nuli, što je svakako pogrešno.