MATEMANIJA

Zdravo, imam 2 pitanja u vezi sa dokazivanjem jedne teoreme i jednog tvrdjenja u vezi sa konvergencijom niza slucajnih velicina, konkrento vezanih za skoro sigurnu konvergenciju.
1. Pitanje (dokaz tvrdjenja da ako niz konvergira skoro sigurno, onda ce i u verovatnoci)
Dokaz glasi ovako:
[dispmath](\forall\varepsilon>0)\lim_{n\to\infty}P\{\underbrace{w\mid\sup_{k\geq n}|X_k(w)-X(w)|\geq\varepsilon}_{A_n}\}=0\\
\Longrightarrow(\forall\varepsilon>0)\lim_{n\to\infty}P\{\underbrace{w\mid|X_n(w)-X(w)|\geq\varepsilon}_{B_n}\}=0\\
\Longrightarrow B_n\subset A_n\Longrightarrow\cdots[/dispmath] Naime, nije mi jasno zasto vazi ova implikacija, zasto je skup koji obuhvata supremum siri od skupa koji ga ne obuhvata?

2. Pitanje (dokaz teoreme o skoro sigurnoj konvergenciji)
[dispmath](\forall\varepsilon>0)\sum^\infty_{n=1}P\{w\mid|X_n(w)-X(w)|\geq\varepsilon\}<+\infty\Longrightarrow X_n\to^{\text{s.s.}}_{n->\infty}X[/dispmath] Dokaz: ... primena Borel-Kantelijeve leme 1 ...
[dispmath](\forall\varepsilon>0)\lim_{n\to\infty}P\underbrace{\left\{w\mid\bigcup^\infty_{k=n}|X_k(w)-X(w)|\geq\varepsilon\right\}}_{An}=0\\
\Longrightarrow(\forall\varepsilon>0)\lim_{n\to\infty}P\{\underbrace{w\mid\sup_{k\geq n}|X_k(w)-X(w)|\geq\varepsilon}_{B_n}\}=0\\
\Longrightarrow B_n\subset A_n\Longrightarrow\cdots[/dispmath] I ovde isto, nije mi jasno zasto vazi ova implikacija, zasto je skup koji obuhvata uniju (bar 1 od ovih mora biti ispunjen) siri od supremuma?

Veliko hvala unapred!

Zdravo. Dobrodošao na forum.

1. U skupu [inlmath]A_n[/inlmath] se nalaze svi događaji [inlmath]\omega[/inlmath] za koje je [inlmath]\sup_{k\ge n} \left\vert X_k(\omega) - X(\omega)\right\vert \ge \varepsilon[/inlmath]. Sa druge strane, u skupu [inlmath]B_n[/inlmath] se nalaze svi događaji [inlmath]\omega[/inlmath] za koje važi [inlmath]\left\vert X_n(\omega) - X(\omega)\right\vert \ge \varepsilon[/inlmath]. Neka je sad [inlmath]\omega_0 \in B_n[/inlmath] i neka je je [inlmath]\alpha_k = \left\vert X_k(\omega_0) - X(\omega_0)\right\vert[/inlmath]. Kako je [inlmath]\omega_0 \in B_n[/inlmath], važi [inlmath]\alpha_n \ge \varepsilon[/inlmath], pa prema tome važi i [inlmath]\sup_{k\ge n} \alpha_k \ge \varepsilon[/inlmath] jer je supremum veći od svakog elementa (pa samim tim i od [inlmath]\alpha_n[/inlmath]). A to upravo znači da je [inlmath]\alpha_n \in A_n[/inlmath]. Dakle [inlmath]B_n\subseteq A_n[/inlmath].

2. Gotovo isti argument. Ako [inlmath]\omega_0 \in \bigcup_{k=n}^{\infty}\{\omega : \left\vert X_k(\omega) - X(\omega)\right\vert \ge \varepsilon \}[/inlmath], to znači da za bar neko [inlmath]k\ge n[/inlmath] važi da je [inlmath]\left\vert X_k(\omega_0) - X(\omega_0)\right\vert \ge \varepsilon[/inlmath]. Samim tim, supremum izraza [inlmath]\left\vert X_k(\omega_0) - X(\omega_0)\right\vert[/inlmath] je veći od [inlmath]\varepsilon[/inlmath] (jer je barem jedan član veći od [inlmath]\varepsilon[/inlmath]), pa sledi da [inlmath]\omega_0\in\{\omega : \sup_{k\ge n} \left\vert X_k(\omega) - X(\omega)\right\vert \ge \varepsilon \}[/inlmath]