MATEMANIJA

Slučajna varijabla [inlmath]X[/inlmath] ima distribuciju
[dispmath]X\sim\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
a & 3a & 2a & 3a^2 & 4a^2 & 2a^2+2a
\end{pmatrix}[/dispmath]
[inlmath]a)[/inlmath] izračunajte konstantu [inlmath]a[/inlmath]
[inlmath]b)[/inlmath] odredite [inlmath]P(2\le x\le 5)[/inlmath]
[inlmath]c)[/inlmath] odredite najmanji [inlmath]k\in\mathbb{N}[/inlmath]

eseper je napisao:[inlmath]a)[/inlmath] izračunajte konstantu [inlmath]a[/inlmath]

Konstantu [inlmath]a[/inlmath] određuješ tako što kod distribucije diskretne slučajne varijable [inlmath]X[/inlmath]
[dispmath]X\sim\left(\begin{matrix}
x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\
p_1 & p_2 & \cdots & p_n
\end{matrix}\right)[/dispmath]
znaš da su događaji [inlmath]x_1, x_2\dots x_n[/inlmath] disjunktni i da zajedno čine potpun sistem događaja, što znači da im je zbir verovatnoća jednak verovatnoći sigurnog događaja, tj. jedinici:
[dispmath]\sum_{k=1}^np_k=1[/dispmath]
Na taj način ćeš dobiti kvadratnu jednačinu po [inlmath]a[/inlmath], iz koje lako odrediš [inlmath]a[/inlmath], pri čemu, naravno, odbaciš ono rešenje koje bi značilo da su neke od verovatnoća negativne.

eseper je napisao:[inlmath]b)[/inlmath] odredite [inlmath]P(2\le x\le 5)[/inlmath]

Da bi dobio [inlmath]P\left(2\le x\le 5\right)[/inlmath], treba ili da sabereš verovatnoće [inlmath]p_2[/inlmath], [inlmath]p_3[/inlmath], [inlmath]p_4[/inlmath] i [inlmath]p_5[/inlmath] (čiji zbir predstavlja verovatnoću da se [inlmath]X[/inlmath] nalazi unutar intervala [inlmath]\left[2,5\right][/inlmath], ili da od jedinice oduzmeš verovatnoće [inlmath]p_1[/inlmath] i [inlmath]p_6[/inlmath] (tj. nađeš verovatnoću da [inlmath]X[/inlmath] nije van intervala [inlmath]\left[2,5\right][/inlmath], tj. da nije [inlmath]1[/inlmath] i da nije [inlmath]6[/inlmath]).

eseper je napisao:[inlmath]c)[/inlmath] odredite najmanji [inlmath]k\in\mathbb{N}[/inlmath]

Ovo ne razumem, može li pojašnjenje šta [inlmath]k[/inlmath] označava?

Znači, bilo bi:

[inlmath]a)[/inlmath]
[dispmath]a=\frac{1}{9}[/dispmath]
[inlmath]b)[/inlmath]
[dispmath]p(x=2)+p(x=3)+p(x=4)+p(x=5)=\frac{52}{81}[/dispmath]
[inlmath]c)[/inlmath]
odredite najmanji [inlmath]k\in\mathbb{N}[/inlmath] takav da je [inlmath]P(x\le k)\ge\frac{1}{2}[/inlmath]

[inlmath]a)[/inlmath] Da.

[inlmath]b)[/inlmath] Da.

eseper je napisao:[inlmath]c)[/inlmath]
odredite najmanji [inlmath]k\in\mathbb{N}[/inlmath] takav da je [inlmath]P(x\le k)\ge\frac{1}{2}[/inlmath]

[dispmath]P\left(x\le k\right)=p_1+p_2+\cdots +p_k[/dispmath]
Znači, sabiraš verovatnoće počev od [inlmath]p_1[/inlmath], [inlmath]p_2[/inlmath], pa nadalje, gledajući pri tome za koje [inlmath]k[/inlmath] će ta kumulativna verovatnoća dostići ili preći vrednost [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath].

Slučajna varijabla [inlmath]X[/inlmath] ima razdiobu
[dispmath]X\sim\begin{pmatrix}
-3 & -1 & 0 & 1 & 2\\
0.25+0.2c & c^2 & 0.2+0.25c & 0.2+0.3c & 0.1
\end{pmatrix}[/dispmath]
[inlmath]a)[/inlmath] odredite [inlmath]c[/inlmath]
[inlmath]b)[/inlmath] odredite [inlmath]E(X)[/inlmath]
[inlmath]c)[/inlmath] izračunajte [inlmath]P(X<1\mid X\ge-1)[/inlmath]

Ovaj zadatak sam postavio najviše zbog točke [inlmath]a)[/inlmath]. Dobijem čudnu kvadratnu jednadžbu: [inlmath]c^2+0.75c-0.5=0[/inlmath]
Iz toga onda dobijem dva rješenja, [inlmath]c_1=0.43,\;c_2=-1.175[/inlmath]. U slučaju da je ovo točno, drugo rješenje bi se odbacilo.
Također me zanima i koliko treba ispasti pod [inlmath]b)[/inlmath] i [inlmath]c)[/inlmath]

[inlmath]c[/inlmath] vjerojatno nije točan, jer kada ga uvrstim u razdiobu, suma ispadne veća od [inlmath]1[/inlmath]

Treba da se dobije jednačina [inlmath]c^2+0.75c-0.25=0[/inlmath].

eseper je napisao:[inlmath]c)[/inlmath] izračunajte [inlmath]P(X<1\mid X\ge-1)[/inlmath]

Viđa se i ovakvo označavanje uslovne verovatnoće (vertikalnom crtom), no ja ću je dalje označavati kosom crtom jer je to definitivno preovladavajući način zapisa.
U ovom primeru koristi se osnovna formula za uslovnu verovatnoću:
[dispmath]P(A/B)=\frac{P(A\cdot B)}{P(B)}[/dispmath]
Ovde je korišćena još jedna uobičajena konvencija u označavanju za proizvod (presek) dva događaja. Slično je i u slučaju zbira ili unije dva događaja. Dakle:
[dispmath]P(A\cap B)\equiv P(A\cdot B)[/dispmath][dispmath]P(A\cup B)\equiv P(A+ B)[/dispmath]
Ovi simboli preseka i unije poznati u anglosaksonskoj literaturi kao "cap" i "cup" ("kapa" i "šolja", tj. u matematičkoj logici ekvivalentni sa "i" i "ili") uobičajeno se zamenjuju simbolima "[inlmath]\cdot[/inlmath]" i "[inlmath]+[/inlmath]". Ovo se, naravno, odnosi na izraze i formule u teoriji verovatnoće. No, vratimo se na zadatak:
[dispmath]P(X<1\;/\;X\ge-1)=\frac{P(-1\le X<1)}{P(X\ge-1)}[/dispmath][dispmath]P(X<1\;/\;X\ge-1)=\frac{P(X=-1)+P(X=0)}{P(X=-1)+P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)}[/dispmath]
Posle zamene prethodno izračunatih vrednosti verovatnoća na način koji je pokazao @Daniel, dobija se traženi rezultat.