MATEMANIJA

Na slučajan način raspoređujemo [inlmath]50[/inlmath] jednakih jaja u [inlmath]9[/inlmath] različitih košara. U svaku košaru može stati proizvoljno mnogo tih jaja. Izračunajte vjerojatnost da se:

Evo što sam napravio za a)
Ako imamo [inlmath]9[/inlmath] košara, a u svakoj se nalaze barem [inlmath]4[/inlmath] jaja, onda:
[inlmath]\Omega=\left\{(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7,x_8,x_9):\;x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6+x_7+x_8+x_9=50,\;x_i\ge 0\right\}[/inlmath]
[inlmath]|\Omega|={50+9-1\choose 9-1}={58\choose 8}[/inlmath]
[inlmath]A=\left\{(x_1,\dots ,x_9):\mbox{ u svakoj košari su barem }4\mbox{ jaja, }x_i\ge 4\right\}[/inlmath]
Ako u svaku košaru stavim barem [inlmath]4[/inlmath] jaja, onda znam koliko mi ih ostaje
[inlmath]y_i=50-4\cdot 9=14[/inlmath]
[inlmath]y_1+y_2+y_3+y_4+y_5+\dots +y_9=14[/inlmath]
Proizlazi:
[inlmath]|A|={14+9-1\choose 9-1}={22\choose 8}[/inlmath]
Konačno:
[dispmath]P(A)=\frac{22\choose 8}{58\choose 8}[/dispmath]
Valja li išta od ovoga i na koji način doći do rješenja pod [inlmath]b)[/inlmath] ?

Pod [inlmath]a)[/inlmath] je u redu, s tim što bih pokazao svoj način na koji se dolazi do tih formula koje si primenio.

Pod [inlmath]b)[/inlmath] nemam trenutno ideju, moram još da razmislim. Nije problem naći broj slučajeva s [inlmath]2[/inlmath] prazne košare, ali problem predstavlja ova jedna košara s tačno [inlmath]5[/inlmath] jaja.

Dakle, pod [inlmath]a)[/inlmath]. Raspoređivanje [inlmath]50[/inlmath] jaja u [inlmath]9[/inlmath] košara je identično situaciji kada među tih [inlmath]50[/inlmath] jaja na proizvoljan način umećemo [inlmath]8[/inlmath] pregrada, pri čemu te pregrade predstavljaju „granice“ između dve košare, onda kada ih poređamo tačno jednu do druge. Npr. ako sa [inlmath]O[/inlmath] obeležimo jaja, a sa [inlmath]|[/inlmath] obeležimo pregrade, oznaka

|OOOO|OO|OOO||O|OOO|...

značiće da je [inlmath]1.[/inlmath] košara prazna, da u [inlmath]2.[/inlmath] imamo [inlmath]4[/inlmath] jaja, da u [inlmath]3.[/inlmath] imamo [inlmath]2[/inlmath] jaja, da u [inlmath]4.[/inlmath] imamo [inlmath]3[/inlmath] jaja, da je [inlmath]5.[/inlmath] košara prazna, da u [inlmath]6.[/inlmath] imamo [inlmath]1[/inlmath] jaje, da u [inlmath]7.[/inlmath] imamo [inlmath]3[/inlmath] jaja itd.
Sada, ako sva poziciona mesta (i ona na kojima se mogu naći jaja i ona na kojima se mogu naći pregrade) numerišemo rednim brojevima,

|  O  O  O  O  |  O  O  |  O   O   O   |   |   O   |   O   O   O   |...
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.

vidimo da je ukupan broj pozicija jednak zbiru jaja i pregrada, a pošto je broj pregrada jednak broju košara umanjen za [inlmath]1[/inlmath], to će ukupan broj pozicija biti jednak [inlmath]n+k-1[/inlmath], gde je [inlmath]n[/inlmath] broj jaja, a [inlmath]k[/inlmath] broj košara.
Broj načina na koji se jaja mogu rasporediti u košare jednak je broju načina na koji se pregrade mogu umetnuti među jaja, a to je jednako broju načina na koji od ukupno [inlmath]n+k-1[/inlmath] pozicija izabiramo onih [inlmath]k-1[/inlmath] pozicija na kojima će se naći pregrade. To je jednako broju kombinacija od [inlmath]n+k-1[/inlmath] elemenata klase [inlmath]k-1[/inlmath], bez ponavljanja. Dakle, [inlmath]C_{n+k-1}^{k-1}={n+k-1\choose k-1}[/inlmath].

Kad smo određivali ukupan broj načina na koji se [inlmath]50[/inlmath] jaja može raspodeliti u [inlmath]9[/inlmath] košara, to je
[dispmath]C_{50+9-1}^{9-1}={50+9-1\choose 9-1}={58\choose 8}[/dispmath]
Prilikom određivanja broja načina na koji možemo izvršiti raspodelu tako da u svakoj košari bude bar [inlmath]4[/inlmath] jaja, u samom startu u svaku košaru stavljamo po [inlmath]4[/inlmath] jaja, pri čemu nam na raspolaganju ostaje [inlmath]50-9\cdot 4=14[/inlmath] jaja, a zatim određujemo broj načina na koje ta preostala jaja možemo raspodeliti u košare (u kojima se već nalaze po [inlmath]4[/inlmath] jaja). Sada je [inlmath]n=14[/inlmath], [inlmath]k=9[/inlmath], tako da je taj broj načina jednak
[dispmath]C_{14+9k-1}^{9-1}={14+9-1\choose 9-1}={22\choose 8}[/dispmath]
pa traženu verovatnoću dobijamo tako što [inlmath]22\choose 8[/inlmath] podelimo sa [inlmath]58\choose 8[/inlmath], kao što si i uradio.

MATEMANIJA

Raspoređivanje u kutije

Raspoređivanje u kutije

Re: Raspoređivanje u kutije