MATEMANIJA

Neka je [inlmath]X[/inlmath] neprekidna slučajna varijabla s funkcijom gustoće
[dispmath]f(x)=\begin{cases}
ce^{2x+1}, & \mbox{za }0<x<3\\
0, & \mbox{inače}
\end{cases}[/dispmath]
a) odredi [inlmath]c[/inlmath]
b) odredi [inlmath]EX[/inlmath]
c) izračunajte [inlmath]P(X>1)[/inlmath]

---

a) po definiciji, [inlmath]f(x)\ge 0,\;c>0[/inlmath]
[inlmath]c[/inlmath] se dobije iz sljedećeg integrala: [inlmath]\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)\mathrm{d}x=1[/inlmath]
odnosno kada uvrstim sve potrebno dobijem određeni integral [inlmath]\int\limits_0^3 ce^{2x+1}\mathrm{d}x[/inlmath]
Integral se riješi supstitucijom (donja granica postane [inlmath]1[/inlmath], gornja [inlmath]7[/inlmath]) i na kraju dobijem [inlmath]\frac{1}{2}c\left(e^7-e^1\right)[/inlmath]. Odnosno, kao konačno dobijem [inlmath]c=\frac{2}{e^7-e}[/inlmath]
U ovakvim zadacima smo obično dobijali neke ljepše brojeve, s obzirom da [inlmath]c[/inlmath] ovisi o ostatku zadatka. Zbog toga sam sumnjičav prema ovom rješenju jer pretpostavljam da će se točke b) i c) radi ovoga zakomplicirati. Ideja?

Nema greške, sve si ispravno rešio. I kad vratiš dobijenu vrednost za [inlmath]c[/inlmath] u integral [inlmath]\int\limits_0^3 ce^{2x+1}\mathrm{d}x[/inlmath] pa ga sračunaš, dobićeš da je jednak jedinici, kao što i treba da bude.

A i ne vidim zašto bi ostale tačke zadatka zbog takve vrednosti [inlmath]c[/inlmath] bile nešto mnogo komplikovanije. U toku većeg dela postupka možeš konstantu ostaviti obeleženu kao [inlmath]c[/inlmath], a tek na kraju to [inlmath]c[/inlmath] zameniti izrazom koji si dobio za tu konstantu.

Vrednosti koje sam ja dobio:
[dispmath]E\left(X\right)=\frac{5e^6+1}{2\left(e^6-1\right)}\approx 2,51[/dispmath][dispmath]P\left(X>1\right)=\frac{e^6-e^2}{e^6-1}\approx 98,41\%[/dispmath]

Super. Onda ajmo dalje

b)
[inlmath]EX=\int\limits_{-\infty}^{\infty}x f(x)\mathrm{d}x[/inlmath]. Kad uvrstim svoje granice i riješim sve to, dobijem konačno [inlmath]EX=2[/inlmath]
c)
donja granica integrala je [inlmath]1[/inlmath], gornja [inlmath]\infty[/inlmath]. Konačno kao rješenje dobijem [inlmath]\infty[/inlmath].

Još jednom sam proverio, za [inlmath]E\left(X\right)[/inlmath] dobijam rezultat koji sam napisao. Ako hoćeš, napiši svoj postupak, pa da vidimo.

Što se tiče [inlmath]P\left(X>1\right)[/inlmath], nijedna verovatnoća, pa ni ta, ne može biti veća od [inlmath]1[/inlmath], što znači da ne može biti [inlmath]\infty[/inlmath]. Gornja granica integrala treba da bude [inlmath]3[/inlmath], jer je funkcija gustine za [inlmath]x>3[/inlmath] jednaka nuli.

U pravu si, pod b) sam izostavio brojčicu, a pod c) sam uvrstio krivu gornju granicu

Grafički gledano, ta funkcija gustine izgleda ovako:


tj. rasla bi po eksponencijalnom zakonu i za [inlmath]x\to\infty[/inlmath] bi išla u beskonačnost, međutim, mi posmatramo samo interval između [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]3[/inlmath], jer je van tog intervala, po uslovu zadatka, jednaka nuli.

U okolini donje granice intervala u kojem je veća od nule, tj. u okolini [inlmath]x=0[/inlmath], funkcija ima vrlo male vrednosti, a njena vrednost eksponencijalno raste kako se približavamo gornjoj granici, [inlmath]x=3[/inlmath]. Zato je i logično da smo za srednju (očekivanu) vrednost dobili [inlmath]E\left(X\right)\approx 2,51[/inlmath], koja je mnogo bliža trojci (gornjoj granici) nego nuli (donjoj granici).

Takođe, ovako velika dobijena vrednost za [inlmath]P\left(X>1\right)[/inlmath] je sasvim očekivana, budući da je verovatnoća da se [inlmath]x[/inlmath] nađe u intervalu [inlmath]\left(0,1\right)[/inlmath] (plava površina na grafiku) mnogo manja od verovatnoće da se nađe u intervalu [inlmath]\left(1,3\right)[/inlmath] (žuta površina na grafiku).

Naravno, zbir plave i žute površine jednak je jedinici (ukupna verovatnoća).

Hvala Još jedan:

Neka je [inlmath]X[/inlmath] neprekidna slučajna varijabla s funkcijom gustoće
[dispmath]f(x)=\begin{cases}
c\sin x, & \mbox{za }0\le x\le\frac{\pi}{2}\\
0, & \mbox{inače}
\end{cases}[/dispmath]
a) odredi [inlmath]c[/inlmath]
b) odredi [inlmath]EX[/inlmath]
c) izračunajte [inlmath]P\left(\left.X>\frac{\pi}{4}\:\right|\:X<\frac{\pi}{3}\right)[/inlmath]

a) dobio sam [inlmath]c=1[/inlmath]
b) [inlmath]E(X)=1[/inlmath]

Ostaje pod c), ako može objašnjenje kako ga rješiti (ako se ne varam tu treba koristiti pravilo za uvjetnu vjerojatnost)...

Jeste, [inlmath]P\left(B|A\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(A\right)}[/inlmath]. Znači, u ovom slučaju,
[dispmath]P\left(\left.X>\frac{\pi}{4}\:\right|\:X<\frac{\pi}{3}\right)=\frac{P\left(\frac{\pi}{4}<X<\frac{\pi}{3}\right)}{P\left(0<X<\frac{\pi}{3}\right)}=\frac{\int\limits_\frac{\pi}{4}^\frac{\pi}{3}\sin x\mathrm dx}{\int\limits_0^\frac{\pi}{3}\sin x\mathrm dx}=\cdots[/dispmath]

---

Geometrijski se to može posmatrati ovako: žućkasta površina na slici označava geometrijsko mesto svih ishoda u kojima je [inlmath]X<\frac{\pi}{3}[/inlmath].


Pošto posmatramo događaj kada je prethodno već ispunjeno da je [inlmath]X<\frac{\pi}{3}[/inlmath], onda [inlmath]X<\frac{\pi}{3}[/inlmath] možemo tretirati kao siguran događaj, tj. ishod se sigurno mora naći unutar te žućkaste površine. Prema tome, ništa van te žućkaste površine nas više ne interesuje, posmatramo isključivo nju. I onda verovatnoću događaja računamo na onaj poznat način, količnikom broja povoljnih ishoda i broja ukupnih ishoda. (Ovde reč „broj“ ne treba shvatiti u bukvalnom smislu, budući da kod kontinualnih raspodela slučajnih promenljivih imamo neprebrojivo mnogo mogućih ishoda.)
Broj ukupnih ishoda predstavlja, dakle, žućkasto obojena površina, koja iznosi [inlmath]\int\limits_0^\frac{\pi}{3}\sin x\mathrm dx[/inlmath].
Broj povoljnih ishoda bi bio onaj deo žućkasto obojene površine u kojem je zadovoljeno da je [inlmath]X>\frac{\pi}{4}[/inlmath], a to je plavičasto obojena površina na sledećoj slici:


Ta površina iznosi [inlmath]\int\limits_\frac{\pi}{4}^\frac{\pi}{3}\sin x\mathrm dx[/inlmath].

Traženu verovatnoću dobijemo kao količnik broja povoljnih ishoda i broja ukupnih ishoda, tj. kao količnik ove dve površine:
[dispmath]P\left(\left.X>\frac{\pi}{4}\:\right|\:X<\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\int\limits_\frac{\pi}{4}^\frac{\pi}{3}\sin x\mathrm dx}{\int\limits_0^\frac{\pi}{3}\sin x\mathrm dx}=\cdots[/dispmath]
tj. dobije se isti rezultat kao i preko formule za uslovnu verovatnoću.

Brojnik mi je jasan. U nazivniku, ova nula koja predstavlja donju granicu, to je uvijek tako ili?

Kada izračunam ta dva integrala i podijelim rezultate, ispalo mi je [inlmath]\sqrt{2}-1[/inlmath].