MATEMANIJA

Neka je [inlmath]X[/inlmath] neprekidna slučajna varijabla s funkcijom gustoće
[dispmath]f(x)=\begin{cases}
ce^{2x+1}, & \mbox{za }0<x<3\\
0, & \mbox{inače}
\end{cases}[/dispmath]
a) odredi [inlmath]c[/inlmath]
b) odredi [inlmath]EX[/inlmath]
c) izračunajte [inlmath]P(X>1)[/inlmath]

---

a) po definiciji, [inlmath]f(x)\ge 0,\;c>0[/inlmath]
[inlmath]c[/inlmath] se dobije iz sljedećeg integrala: [inlmath]\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)\mathrm{d}x=1[/inlmath]
odnosno kada uvrstim sve potrebno dobijem određeni integral [inlmath]\int\limits_0^3 ce^{2x+1}\mathrm{d}x[/inlmath]
Integral se riješi supstitucijom (donja granica postane [inlmath]1[/inlmath], gornja [inlmath]7[/inlmath]) i na kraju dobijem [inlmath]\frac{1}{2}c\left(e^7-e^1\right)[/inlmath]. Odnosno, kao konačno dobijem [inlmath]c=\frac{2}{e^7-e}[/inlmath]
U ovakvim zadacima smo obično dobijali neke ljepše brojeve, s obzirom da [inlmath]c[/inlmath] ovisi o ostatku zadatka. Zbog toga sam sumnjičav prema ovom rješenju jer pretpostavljam da će se točke b) i c) radi ovoga zakomplicirati. Ideja?

Nema greške, sve si ispravno rešio. I kad vratiš dobijenu vrednost za [inlmath]c[/inlmath] u integral [inlmath]\int\limits_0^3 ce^{2x+1}\mathrm{d}x[/inlmath] pa ga sračunaš, dobićeš da je jednak jedinici, kao što i treba da bude.

A i ne vidim zašto bi ostale tačke zadatka zbog takve vrednosti [inlmath]c[/inlmath] bile nešto mnogo komplikovanije. U toku većeg dela postupka možeš konstantu ostaviti obeleženu kao [inlmath]c[/inlmath], a tek na kraju to [inlmath]c[/inlmath] zameniti izrazom koji si dobio za tu konstantu.

Vrednosti koje sam ja dobio:
[dispmath]E\left(X\right)=\frac{5e^6+1}{2\left(e^6-1\right)}\approx 2,51[/dispmath][dispmath]P\left(X>1\right)=\frac{e^6-e^2}{e^6-1}\approx 98,41\%[/dispmath]

Super. Onda ajmo dalje

b)
[inlmath]EX=\int\limits_{-\infty}^{\infty}x f(x)\mathrm{d}x[/inlmath]. Kad uvrstim svoje granice i riješim sve to, dobijem konačno [inlmath]EX=2[/inlmath]
c)
donja granica integrala je [inlmath]1[/inlmath], gornja [inlmath]\infty[/inlmath]. Konačno kao rješenje dobijem [inlmath]\infty[/inlmath].

Još jednom sam proverio, za [inlmath]E\left(X\right)[/inlmath] dobijam rezultat koji sam napisao. Ako hoćeš, napiši svoj postupak, pa da vidimo.

Što se tiče [inlmath]P\left(X>1\right)[/inlmath], nijedna verovatnoća, pa ni ta, ne može biti veća od [inlmath]1[/inlmath], što znači da ne može biti [inlmath]\infty[/inlmath]. Gornja granica integrala treba da bude [inlmath]3[/inlmath], jer je funkcija gustine za [inlmath]x>3[/inlmath] jednaka nuli.

U pravu si, pod b) sam izostavio brojčicu, a pod c) sam uvrstio krivu gornju granicu

Grafički gledano, ta funkcija gustine izgleda ovako:


tj. rasla bi po eksponencijalnom zakonu i za [inlmath]x\to\infty[/inlmath] bi išla u beskonačnost, međutim, mi posmatramo samo interval između [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]3[/inlmath], jer je van tog intervala, po uslovu zadatka, jednaka nuli.

U okolini donje granice intervala u kojem je veća od nule, tj. u okolini [inlmath]x=0[/inlmath], funkcija ima vrlo male vrednosti, a njena vrednost eksponencijalno raste kako se približavamo gornjoj granici, [inlmath]x=3[/inlmath]. Zato je i logično da smo za srednju (očekivanu) vrednost dobili [inlmath]E\left(X\right)\approx 2,51[/inlmath], koja je mnogo bliža trojci (gornjoj granici) nego nuli (donjoj granici).

Takođe, ovako velika dobijena vrednost za [inlmath]P\left(X>1\right)[/inlmath] je sasvim očekivana, budući da je verovatnoća da se [inlmath]x[/inlmath] nađe u intervalu [inlmath]\left(0,1\right)[/inlmath] (plava površina na grafiku) mnogo manja od verovatnoće da se nađe u intervalu [inlmath]\left(1,3\right)[/inlmath] (žuta površina na grafiku).

Naravno, zbir plave i žute površine jednak je jedinici (ukupna verovatnoća).

Hvala Još jedan:

Neka je [inlmath]X[/inlmath] neprekidna slučajna varijabla s funkcijom gustoće
[dispmath]f(x)=\begin{cases}
c\sin x, & \mbox{za }0\le x\le\frac{\pi}{2}\\
0, & \mbox{inače}
\end{cases}[/dispmath]
a) odredi [inlmath]c[/inlmath]
b) odredi [inlmath]EX[/inlmath]
c) izračunajte [inlmath]P\left(\left.X>\frac{\pi}{4}\:\right|\:X<\frac{\pi}{3}\right)[/inlmath]

a) dobio sam [inlmath]c=1[/inlmath]
b) [inlmath]E(X)=1[/inlmath]

Ostaje pod c), ako može objašnjenje kako ga rješiti (ako se ne varam tu treba koristiti pravilo za uvjetnu vjerojatnost)...

Jeste, [inlmath]P\left(B|A\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(A\right)}[/inlmath]. Znači, u ovom slučaju,
[dispmath]P\left(\left.X>\frac{\pi}{4}\:\right|\:X<\frac{\pi}{3}\right)=\frac{P\left(\frac{\pi}{4}<X<\frac{\pi}{3}\right)}{P\left(0<X<\frac{\pi}{3}\right)}=\frac{\int\limits_\frac{\pi}{4}^\frac{\pi}{3}\sin x\mathrm dx}{\int\limits_0^\frac{\pi}{3}\sin x\mathrm dx}=\cdots[/dispmath]

---

Geometrijski se to može posmatrati ovako: žućkasta površina na slici označava geometrijsko mesto svih ishoda u kojima je [inlmath]X<\frac{\pi}{3}[/inlmath].


Pošto posmatramo događaj kada je prethodno već ispunjeno da je [inlmath]X<\frac{\pi}{3}[/inlmath], onda [inlmath]X<\frac{\pi}{3}[/inlmath] možemo tretirati kao siguran događaj, tj. ishod se sigurno mora naći unutar te žućkaste površine. Prema tome, ništa van te žućkaste površine nas više ne interesuje, posmatramo isključivo nju. I onda verovatnoću događaja računamo na onaj poznat način, količnikom broja povoljnih ishoda i broja ukupnih ishoda. (Ovde reč „broj“ ne treba shvatiti u bukvalnom smislu, budući da kod kontinualnih raspodela slučajnih promenljivih imamo neprebrojivo mnogo mogućih ishoda.)
Broj ukupnih ishoda predstavlja, dakle, žućkasto obojena površina, koja iznosi [inlmath]\int\limits_0^\frac{\pi}{3}\sin x\mathrm dx[/inlmath].
Broj povoljnih ishoda bi bio onaj deo žućkasto obojene površine u kojem je zadovoljeno da je [inlmath]X>\frac{\pi}{4}[/inlmath], a to je plavičasto obojena površina na sledećoj slici:


Ta površina iznosi [inlmath]\int\limits_\frac{\pi}{4}^\frac{\pi}{3}\sin x\mathrm dx[/inlmath].

Traženu verovatnoću dobijemo kao količnik broja povoljnih ishoda i broja ukupnih ishoda, tj. kao količnik ove dve površine:
[dispmath]P\left(\left.X>\frac{\pi}{4}\:\right|\:X<\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\int\limits_\frac{\pi}{4}^\frac{\pi}{3}\sin x\mathrm dx}{\int\limits_0^\frac{\pi}{3}\sin x\mathrm dx}=\cdots[/dispmath]
tj. dobije se isti rezultat kao i preko formule za uslovnu verovatnoću.

Brojnik mi je jasan. U nazivniku, ova nula koja predstavlja donju granicu, to je uvijek tako ili?

Kada izračunam ta dva integrala i podijelim rezultate, ispalo mi je [inlmath]\sqrt{2}-1[/inlmath].

eseper je napisao:Brojnik mi je jasan. U nazivniku, ova nula koja predstavlja donju granicu, to je uvijek tako ili?

Naravno da nije uvek tako. Ovde je donja granica bila nula zato što je interval u kojem funkcija gustine ima vrednost različitu (veću) od nule interval [inlmath]\left[0,\frac{\pi}{2}\right][/inlmath], tj. interval kojem je donja granica nula.

eseper je napisao:Kada izračunam ta dva integrala i podijelim rezultate, ispalo mi je [inlmath]\sqrt{2}-1[/inlmath].

Da, dobije se [inlmath]\sqrt 2-1[/inlmath], što mu dođe nekih [inlmath]\approx 41\%[/inlmath]. Kad pogledaš plavu površinu sa druge slike, vidiš da njen odnos prema žutoj površini sa prve slike i iznosi otprilike tu negde.

Aha, sada mi je jasno

Još jedan:
Neka je [inlmath]X[/inlmath] neprekidna slučajna varijabla s funkcijom gustoće
[dispmath]f(x)=\begin{cases}
c\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, & \mbox{za }0\le x<1\\
0, & \mbox{inače}
\end{cases}[/dispmath]
a) odredi [inlmath]c[/inlmath]
b) odredi [inlmath]EX[/inlmath]
c) izračunajte [inlmath]P\left(X<\frac{1}{2}\:\left|\:X>\frac{\sqrt{2}}{2}\right.\right)[/inlmath]

Pod a) dobijem [inlmath]c=\frac{2}{\pi}[/inlmath].
Pod b) nastaje problem, jer kada integral idem riješiti pomoću zamjene varijabli, dogodi se da mi donja granica [inlmath]0[/inlmath] postane [inlmath]1[/inlmath], a gornja [inlmath]1[/inlmath] postane [inlmath]0[/inlmath]. Što ne može biti

Može biti, može. Nije to nikakva greška. Donja granica postane [inlmath]1[/inlmath] a gornja postane [inlmath]0[/inlmath], ali se istovremeno unutar integrala „stvori“ jedan minus, a znaš da je [inlmath]\int\limits_a^b f\left(x\right)\mathrm dx=-\int\limits_b^a f\left(x\right)\mathrm dx[/inlmath], tako da to dođe na isto...

S obzirom da sam određene integrale naučio samo kroz ovaj zadatak, to pravilo nisam znao. Odlično, ako mi se dogodi tako nešto na ispitu, znat ću
znači
a) [inlmath]c=\frac{2}{\pi}[/inlmath]
b) [inlmath]E(X)=-\frac{2}{\pi}[/inlmath]
c) [inlmath]P\left(X<\frac{1}{2}\:\left|\:X>\frac{\sqrt{2}}{2}\right.\right)=\frac{P\left(\frac{\sqrt{2}}{2}<X<\frac{1}{2}\right)}{P\left(X>\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}=-\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}}=-\frac{1}{3}[/inlmath]

a)

b) Uvek proveri da li je dobijeni rezultat logičan s obzirom na podatke koji su zadati. U ovom zadatku je zadato da je funkcija gustoće različita (veća) od nule jedino u intervalu [inlmath]\left[0,1\right)[/inlmath], a svuda van tog intervala je jednaka nuli. Može li, onda, slučajna promenljiva [inlmath]X[/inlmath] imati vrednosti manje od [inlmath]0[/inlmath] ili veće od [inlmath]1[/inlmath]? Ne može, naravno, jer nam funkcija gustoće kaže da je verovatnoća da je [inlmath]X<0[/inlmath] ili da je [inlmath]X\ge 1[/inlmath] jednaka nuli, tj. [inlmath]X[/inlmath] ne može imati te vrednosti, već može imati jedino vrednosti koje su u intervalu [inlmath]\left[0,1\right)[/inlmath].
Može li, onda, [inlmath]E\left(X\right)[/inlmath], kao nekakva očekivana, tj. srednja vrednost slučajne promenljive [inlmath]X[/inlmath], biti u ovom slučaju negativna? Ne može, mora biti u onom intervalu u kojem [inlmath]X[/inlmath] može imati vrednosti, a to je ovde interval [inlmath]\left[0,1\right)[/inlmath].

c) Čim dobiješ da je verovatnoća negativna, to ti je odmah signal da se negde desio , budući da verovatnoća, po definiciji (znači, ne samo u ovom zadatku, nego i inače), može imati samo vrednosti u intervalu [inlmath]\left[0,1\right][/inlmath].
Hint – Za određivanje ove verovatnoće pod c) čak ti nikakvo računanje nije ni potrebno, budući da je vrlo očigledno.

b) u ponovnom rješavanju dobijem [inlmath]E(X)=1[/inlmath], ali ni to ne upada u interval koji si naveo
c) rješavao sam dva integrala, iz brojnika [inlmath]\int\limits_\frac{\sqrt{2}}{2}^\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x[/inlmath] i tu sam dobio [inlmath]-\frac{1}{6}[/inlmath].
za integral u nazivniku [inlmath]\int\limits_\frac{\sqrt{2}}{2}^1\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x[/inlmath] također dobijem isti rezultat. gdje griješim?

b) U prvom pokušaju dobio si rešenje koje je po apsolutnoj vrednosti jednako tačnom rešenju (tačno rešenje iznosi [inlmath]E\left(X\right)=\frac{2}{\pi}[/inlmath]), tako da pretpostavljam da si nešto zbrljao oko donje i gornje granice integraljenja – proveri da ih nisi zamenio i da li si ispravno iskoristio svojstvo [inlmath]\int\limits_a^b f\left(x\right)\mathrm dx=-\int\limits_b^a f\left(x\right)\mathrm dx[/inlmath]. Možda, da nam pokažeš svoj postupak?

c) Greška ti je u tome što si prevideo da je [inlmath]\frac{\sqrt 2}{2}>\frac{1}{2}[/inlmath], te, samim tim, nejednakost [inlmath]\frac{\sqrt{2}}{2}<X<\frac{1}{2}[/inlmath] nema smisla. Kod nejednakosti oblika [inlmath]a<x<b[/inlmath] podrazumeva se da mora biti [inlmath]a<b[/inlmath]...

Tako je, pod b) sam sada dobio [inlmath]\frac{2}{\pi}[/inlmath]. Prvi put sam falio predznak, a drugi put izostavio [inlmath]x[/inlmath] iz formule. Bitno da je to sada ispalo

c) ovdje sam samo primjenio formulu [inlmath]P\left(B|A\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(A\right)}[/inlmath] i zamijenio je vrijednostima iz ovog zadatka...

c) Da, a koliko ti je tu [inlmath]P\left(A\cap B\right)[/inlmath], ako je [inlmath]A:X>\frac{\sqrt 2}{2}[/inlmath], a [inlmath]B:X<\frac{1}{2}[/inlmath]?

Ok, obzirom kakve večeras gluposti radim, vrijeme je da idem u krpe

Znači, to pod c) ti je trik-pitanje. Zato uvek prvo proveri da li taj presek uopšte postoji (tj. da li je, možda, prazan skup kao u ovom slučaju), pa tek ako nije prazan skup, e onda verovatnoću tog preseka zameni onim integralom... Jer, ako je prazan skup, onda će ti zamena tim integralom napraviti

Aha, razumio sam
dobijem [inlmath]P=\frac{1}{3}\sim 0.33[/inlmath]

Ček... Kolika je verovatnoća [inlmath]P\left(A\right)[/inlmath], ako je [inlmath]A[/inlmath] prazan skup?

Nula. Znači ovdje nije bio potreban baš nikakav izračun (jer mislio sam da ne smije ispasti [inlmath]0[/inlmath]). Inače ovakve primjere nismo ni rješavali, ali obzirom da će biti u kolokviju, zbog toga ovoliko grešaka Ali sada znam (valjda)

Upravo tako, nula. Zato sam ti i napisao da ovde nikakav račun nije potreban, jer je očigledno – traži se verovatnoća [inlmath]P\left(X<\frac{1}{2}\:\left|\:X>\frac{\sqrt 2}{2}\right.\right)[/inlmath], tj. verovatnoća da je [inlmath]X<\frac{1}{2}[/inlmath] kada je prethodno ispunjeno da je [inlmath]X>\frac{\sqrt 2}{2}[/inlmath]. A ako znamo da je [inlmath]X>\frac{\sqrt 2}{2}[/inlmath], tada [inlmath]X[/inlmath] ne može nikako biti manje od [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath]. Dakle, ta verovatnoća je nula, nije potrebno čak ni pisati formulu [inlmath]P\left(B|A\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(A\right)}[/inlmath].