MATEMANIJA

Neka je [inlmath]X[/inlmath] normalna slučajna varijabla s očekivanjem [inlmath]3[/inlmath]. Ako je [inlmath]P(3<X<5)=0.4772[/inlmath], izračunajte [inlmath]P\left(\frac{2}{2-x}>2\right)[/inlmath]

Evo dio koji sam napravio
[inlmath]X\sim(\mu,\sigma^2)[/inlmath] tj.
[inlmath]X\sim(3,\sigma^2)[/inlmath]

[inlmath]P(3<X<5)=0.4772[/inlmath]
[inlmath]P(X<3)-P(X<5)=0.4772[/inlmath]
[inlmath]P\left(\frac{x-3}{\sigma}<\frac{5-3}{\sigma}\right)-P\left(\frac{x-3}{\sigma}<\frac{3-3}{\sigma}\right)=0.4772[/inlmath]
[inlmath]P\left(y<\frac{2}{\sigma}\right)-P(y<0)=0.4772[/inlmath]

Kako dalje? Imali smo jedan primjer gdje se u obe zagrade dobila ista vrijednost, npr. [inlmath]\frac{4}{\sigma}[/inlmath], potom se tu uvela zamjena [inlmath]t[/inlmath] i dalje se lako riješi...

Inače, tabela distribucije koja je potrebna za ovaj zadatak, može se naći na ovom linku.

Prvo, imaš greščicu u kucanju u sledećem redu:

eseper je napisao:[inlmath]P(X<{\color{red}3})-P(X<{\color{red}5})=0.4772[/inlmath]

Naravno, treba da piše [inlmath]P\left(X<{\color{red}5}\right)-P\left(X<{\color{red}3}\right)=0.4772[/inlmath]

---

Poenta je, da bi mogao da kreneš s rešavanjem verovatnoće [inlmath]P\left(\frac{2}{2-x}>2\right)[/inlmath], treba prethodno, pošto ti je dato očekivanje ove normalne raspodele, koje iznosi [inlmath]\mu=3[/inlmath], da odrediš i drugi parametar te normalne raspodele, a to je standardna devijacija [inlmath]\sigma[/inlmath]. Nju određuješ upravo iz podatka [inlmath]P\left(3<X<5\right)=0.4772[/inlmath], tj. iz jednačine [inlmath]P\left(y<\frac{2}{\sigma}\right)-P\left(y<0\right)=0.4772[/inlmath], do koje si došao.

[inlmath]P\left(y<0\right)[/inlmath] odmah znaš koliko iznosi kod jedinične normalne raspodele, čak i bez gledanja u tabelu. Iznosi, naravno, [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath], jer kod jedinične normalne raspodele Gausova kriva dostiže maksimum tačno kada je vrednost slučajne promenljive jednaka nuli, što znači da je verovatnoća da slučajna promenljiva ima vrednost manju od nule jednaka verovatnoći da ima vrednost veću od nule, a pošto je zbir ove dve verovatnoće jednak jedinici (verovatnoća sigurnog događaja), sledi da je svaka od ove dve verovatnoće jednaka [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath]. Dakle,

[inlmath]P\left(y<0\right)=\frac{1}{2}[/inlmath]

Odatle sledi:

[inlmath]P\left(y<\frac{2}{\sigma}\right)-\frac{1}{2}=0.4772[/inlmath]

[inlmath]P\left(y<\frac{2}{\sigma}\right)=0.9772[/inlmath]

I onda pogledaš u tabelu koja je to verovatnoća koja iznosi [inlmath]0.9772[/inlmath]. Iz tabele vidimo da je to verovatnoća da je [inlmath]y<2[/inlmath]. Odatle sledi

[inlmath]P\left(y<\frac{2}{\sigma}\right)=P\left(y<2\right)[/inlmath]

iz čega zaključujemo da je [inlmath]\frac{2}{\sigma}=2[/inlmath], tj. da je [inlmath]\sigma=1[/inlmath].

E sada, kad znaš oba parametra ove normalne raspodele, [inlmath]\mu=3[/inlmath] i [inlmath]\sigma=1[/inlmath], možeš izračunati i [inlmath]P\left(\frac{2}{2-x}>2\right)[/inlmath]. Naravno, prvo reši nejednačinu [inlmath]\frac{2}{2-x}>2[/inlmath] po [inlmath]x[/inlmath], treba da dobiješ [inlmath]1<x<2[/inlmath]. Dakle, tražiš verovatnoću [inlmath]P\left(1<x<2\right)[/inlmath]. Mislim da ti to sad neće biti problem.

Trebalo bi da ti kao rezultat ispadne [inlmath]P\left(1<x<2\right)=0.1359[/inlmath].

2.) Neka je [inlmath]X\sim N(70,4)[/inlmath]. Izračunajte [inlmath]P\left((X-68)^2<9)\right)[/inlmath].

[inlmath](X-68)^2 <9[/inlmath]
[inlmath]X=\left<65,71\right>[/inlmath]
[inlmath]P\left((X-68)^2<9)\right)=P(65<X<71)={\color{red}P(X<71)-P(X<65)}=\dots[/inlmath]

3.) Neka je [inlmath]X\sim N(5,4)[/inlmath]. Izračunajte [inlmath]P\left(X^2+5>6X\right)[/inlmath].

[inlmath]x=\left<-\infty,1\right>\cup\left<5,+\infty\right>[/inlmath]
[inlmath]P\left((X-68)^2<9)\right)=P(5<X<1)={\color{red}P(X<1)+1-P(X\le 5)=}\dots[/inlmath]

---

Nije mi jasno ovo označeno u crveno. U prvom primjeru je [inlmath]X[/inlmath] veći od [inlmath]65[/inlmath], manji od [inlmath]71[/inlmath]. U drugome isto imamo da je [inlmath]X[/inlmath] veći od [inlmath]5[/inlmath], manji od [inlmath]1[/inlmath], ali u nastavku nastaje razlika u odnosu na prvi primjer... ?

eseper je napisao:U drugome isto imamo da je [inlmath]X[/inlmath] veći od [inlmath]5[/inlmath], manji od [inlmath]1[/inlmath]

Ne, nego je [inlmath]X[/inlmath] veći od [inlmath]5[/inlmath] ili manji od [inlmath]1[/inlmath].

Baš sinoć ti napisah da se kod nejednakosti oblika [inlmath]a<x<b[/inlmath] podrazumeva da mora biti [inlmath]a<b[/inlmath]. Prema tome, ni [inlmath]5<X<1[/inlmath] ne znači ništa.

Pošto je [inlmath]x\in\left\langle -\infty,1\right\rangle\cup\left\langle 5,+\infty\right\rangle[/inlmath], verovatnoća koju tražiš biće, zapravo, [inlmath]P\left(X<1\right)+P\left(X>5\right)[/inlmath] (verovatnoća unije dva međusobno disjunktna događaja jednaka je zbiru njihovih verovatnoća). Pri tome je [inlmath]P\left(X>5\right)=1-P\left(X\le 5\right)[/inlmath], tako da tražena verovatnoća postaje [inlmath]P\left(X<1\right)+1-P\left(X\le 5\right)[/inlmath].

Možeš, zapravo, pisati i [inlmath]P\left(X<5\right)[/inlmath] umesto [inlmath]P\left(X\le 5\right)[/inlmath], budući da je kod kontinualnih raspodela slučajnih promenljivih [inlmath]\le[/inlmath], odnosno [inlmath]\ge[/inlmath], isto što i [inlmath]<[/inlmath], odnosno [inlmath]>[/inlmath]. To je zbog toga što je [inlmath]P\left(X\le a\right)=P\left(X<a\right)+P\left(X=a\right)[/inlmath], pri čemu je [inlmath]P\left(X=a\right)=0[/inlmath], jer kod kontinualnih raspodela verovatnoća da je slučajna promenljiva jednaka nekoj konkretnoj vrednosti iznosi nula. Dakle, [inlmath]P\left(X\le a\right)=P\left(X<a\right)[/inlmath], a verovatnoća koju u ovom zadatku tražiš je [inlmath]P\left(X<1\right)+1-P\left(X<5\right)[/inlmath].