MATEMANIJA

Lijep pozdrav, trebala bi pomoc oko ovog zadatka.
Na stolu su dvije kutije, [inlmath]K_1[/inlmath] i [inlmath]K_2[/inlmath]. Kutija [inlmath]K_1[/inlmath] sadrzi [inlmath]3[/inlmath] plave, [inlmath]2[/inlmath] zute i [inlmath]5[/inlmath] crnih kuglica, a kutija [inlmath]K_2[/inlmath] sadrzi [inlmath]5[/inlmath] plavih,[inlmath]3[/inlmath] zute i [inlmath]4[/inlmath] crne kuglice. Na slucajan nacin se odabere kutija te se iz izabrane kutije izvlace kuglice bez vracanja.
a) ako je prva izvucena kuglica crna, kolika je vjerojatnost da je izvucena iz kutije [inlmath]K_1[/inlmath]?
b) Ako je prva izvucena kuglica crna, kolika je vjerojatnost da je i druga izvucena kuglica crna?
I ako moze neki savjeti, kako raditi ovakve zadatke iz vjerojatnosti, kad je svaki zadatak na svoj nacin drugaciji, mislim, nema neka forma za to ili?

Pod a), zasad.

indira-aa je napisao:a) ako je prva izvucena kuglica crna, kolika je vjerojatnost da je izvucena iz kutije [inlmath]K_1[/inlmath]?

U pitanju su uslovne verovatnoće. Uslovna verovatnoća nekog događaja je verovatnoća da se taj događaj desio onda kada se prethodno desio neki drugi događaj.
Uvedimo oznake za događaje [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath]:
[inlmath]A_1[/inlmath] – izabrana kutija [inlmath]K_1[/inlmath]
[inlmath]B[/inlmath] – izabrana crna kuglica
Pošto zastupljenost crnih kuglica nije jednaka u svakoj od dve kutije, verovatnoća događaja [inlmath]B[/inlmath] će, samim tim, zavisiti od toga da li se prethodno desio događaj [inlmath]A_1[/inlmath] (tj. izabrana kutija [inlmath]K_1[/inlmath]). To je, dakle, uslovna verovatnoća.
Traži se [inlmath]P(A_1\mid B)[/inlmath] – verovatnoća da se desio događaj [inlmath]A_1[/inlmath] (kuglica izvučena iz kutije [inlmath]K_1[/inlmath]) kada se zna da se desio događaj [inlmath]B[/inlmath] (da je ta izvučena kuglica crne boje).
Ta verovatnoća se računa prema Bajesovoj formuli, koja glasi:
[dispmath]P(A_1\mid B)=\frac{P(A_1)\cdot P(B\mid A_1)}{P(B)}[/dispmath] Pri tome je:
[inlmath]P(A_1)[/inlmath] – verovatnoća da od dve kutije, [inlmath]K_1[/inlmath] i [inlmath]K_2[/inlmath], na slučajan način odabere kutija [inlmath]K_1[/inlmath] – koliko iznosi ta verovatnoća?
[inlmath]P(B\mid A_1)[/inlmath] – verovatnoća da prva izvučena kuglica iz kutije [inlmath]K_1[/inlmath] bude crna – koliko iznosi ta verovatnoća?
[inlmath]P(B)[/inlmath] – ukupna verovatnoća (znači, ne zalazeći u to iz koje kutije ćemo birati kuglicu) da prva izvučena kuglica bude crna.
[inlmath]P(B)[/inlmath] računamo preko formule potpune verovatnoće:
[dispmath]P(B)=P(A_1)P(B\mid A_1)+P(A_2)P(B\mid A_2)[/dispmath] pri čemu [inlmath]A_2[/inlmath], logično, predstavlja događaj da je izabrana kutija [inlmath]K_2[/inlmath] i da se iz nje bira kuglica.
Odrediš, dakle, koliko je [inlmath]P(A_2)[/inlmath] i koliko je [inlmath]P(B\mid A_2)[/inlmath], uvrstiš u formulu potpune verovatnoće i treba da dobiješ da je [inlmath]P(B)=\frac{5}{12}[/inlmath].

Sada ti je poznato sve što ti je potrebno za primenu Bajesove formule – uvrstiš u nju sve poznate vrednosti, sračunaš i na kraju dobiješ
[dispmath]P(A_1\mid B)=\frac{3}{5}[/dispmath]

indira-aa je napisao:I ako moze neki savjeti, kako raditi ovakve zadatke iz vjerojatnosti, kad je svaki zadatak na svoj nacin drugaciji, mislim, nema neka forma za to ili?

Verovatnoća je oblast u kojoj ne pomaže mehaničko pamćenje formula, nego je potrebno dosta intuicije, prepoznati slučajeve kad primeniti koju formulu – da li su u pitanju nezavisni događaji, ili jedan zavisi od drugog i na koji način, prepoznati sve slučajeve koji se mogu desiti... Znači, što više vežbe...

indira-aa je napisao:b) Ako je prva izvucena kuglica crna, kolika je vjerojatnost da je i druga izvucena kuglica crna?

Uzimamo da je crna kuglica u prvom izvlačenju događaj koji se već desio, tj. to posmatramo kao siguran događaj. Sada [inlmath]P(A_1\mid B)[/inlmath] i [inlmath]P(A_2\mid B)[/inlmath], izračunate u postupku pod a), s verovatnoćama [inlmath]\frac{3}{5}[/inlmath] i [inlmath]\frac{2}{5}[/inlmath] respektivno, posmatramo kao [inlmath]P(A_1)[/inlmath] i [inlmath]P(A_2)[/inlmath]:

Događaj [inlmath]A_1[/inlmath] – prva kuglica, crne boje, izvučena iz kutije [inlmath]K_1[/inlmath] – tada je, nakon tog prvog izvlačenja, u kutiji [inlmath]K_1[/inlmath] ostalo ukupno __ kuglica, od kojih __ crne (dopuni prazna polja );
Događaj [inlmath]A_2[/inlmath] – prva kuglica, crne boje, izvučena iz kutije [inlmath]K_2[/inlmath] – tada je, nakon tog prvog izvlačenja, u kutiji [inlmath]K_2[/inlmath] ostalo ukupno __ kuglica, od kojih __ crne;
Događaj [inlmath]B_2[/inlmath] – druga izvučena kuglica je crne boje (naravno, mora biti izvučena iz iste kutije kao i prva kuglica).

Verovatnoću [inlmath]P(B_2)[/inlmath] računamo preko formule potpune verovatnoće, pri čemu su nam poznate [inlmath]P(B_2\mid A_1)[/inlmath] (odnos broja crnih i ukupnog broja kuglica u kutiji [inlmath]K_1[/inlmath] nakon izvlačenja prve crne kuglice iz te kutije) i [inlmath]P(B_2\mid A_2)[/inlmath] (odnos broja crnih i ukupnog broja kuglica u kutiji [inlmath]K_2[/inlmath] nakon izvlačenja prve crne kuglice iz te kutije)

Ja dobijem rezultat
[dispmath]P(B_2)=\frac{62}{165}[/dispmath]