MATEMANIJA

Imam jos ovaj zadatak , oko kojeg bi mi trebala pomoc..i hvala za svu pomoc do sada )
U jednoj porodici stanuje [inlmath]5[/inlmath] porodica sa po jednim djetetom, [inlmath]3[/inlmath] porodice sa po troje djece i [inlmath]2[/inlmath] porodice sa po petero djece. Na slucajan nacin se biraju [inlmath]3[/inlmath] porodice. Izracunati vjerojatnost da:
a) bar dvije izabrane porodice imaju isti broj djece i
b) [inlmath]3[/inlmath] izabrane porodice imaju sedmero djece.

indira-aa je napisao:U jednoj porodici stanuje [inlmath]5[/inlmath] porodica

Molim te da preciziraš kakva ti je pomoć potrebna oko ovog zadatka, kao i dokle si stigla s istim (Pravilnik, tačka 6!)

Moze samo rjesenja, da uporedim..lp

Koja si rešenja ti dobila?

Dobijem da je [dispmath]P(A)=\frac{3}{4}[/dispmath]
i [dispmath]P(B)=\frac{35}{120}[/dispmath]

Evo i postupka, ako nekog bude zanimalo. Ukupan broj mogućih načina na koji se mogu izabrati [inlmath]3[/inlmath] od [inlmath]10[/inlmath] porodica jednak je, naravno, broju kombinacija od [inlmath]10[/inlmath] elemenata [inlmath]3.[/inlmath] klase bez ponavljanja:
[dispmath]N_\mbox{uk}=C_{10}^3={10\choose 3}=120[/dispmath]

---

a)
Ako sa [inlmath]A[/inlmath] obeležimo događaj da bar [inlmath]2[/inlmath] izabrane porodice imaju isti broj dece, tada će [inlmath]\overline A[/inlmath] biti događaj da sve [inlmath]3[/inlmath] izabrane porodice imaju različit broj dece, što znači da je u uzorku jedna porodica s jednim detetom, jedna porodica s troje dece i jedna porodica s petoro dece. Broj načina na koji se ovo može desiti iznosi [inlmath]5\cdot 3\cdot 2=30[/inlmath] (broj načina da od [inlmath]5[/inlmath] porodica s jednim detetom izaberemo jednu takvu porodicu, pomnožen brojem načina da od [inlmath]3[/inlmath] porodice s troje dece izaberemo jednu takvu porodicu i pomnožen brojem načina da od [inlmath]2[/inlmath] porodice s petoro dece izaberemo jednu takvu porodicu).
Prema tome, verovatnoća ovakvog događaja iznosi:
[dispmath]P\left(\overline A\right)=\frac{30}{120}=\frac{1}{4}[/dispmath]
a verovatnoća koju tražimo, da se u izabranom uzorku nalaze bar dve porodice s istim brojem dece, iznosi:
[dispmath]P\left(A\right)=1-P\left(\overline A\right)=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}[/dispmath]

Mogli smo ovo raditi i na drugi način (komplikovaniji, ali dobro dođe kao vežba, ali i kao provera prethodno dobijenog rezultata):
Događaj [inlmath]A[/inlmath] podelimo na tri „poddogađaja“ – [inlmath]A_1[/inlmath], [inlmath]A_2[/inlmath] i [inlmath]A_3[/inlmath]:
[inlmath]A_1[/inlmath] – u izabranom uzorku se nalaze bar dve porodice s jednim detetom;
[inlmath]A_2[/inlmath] – u izabranom uzorku se nalaze bar dve porodice s troje dece;
[inlmath]A_3[/inlmath] – u izabranom uzorku se nalaze bar dve porodice s petoro dece.
Pri tome je, naravno, [inlmath]P\left(A\right)=P\left(A_1\right)+P\left(A_2\right)+P\left(A_3\right)[/inlmath].

[inlmath]A_1[/inlmath]: Broj mogućih realizacija ovog događaja jednak je zbiru broja slučajeva da u uzorku ima tačno dve porodice s jednim detetom, pri čemu je treća porodica jedna od preostalih [inlmath]5[/inlmath] koje nemaju po jedno dete – taj broj iznosi [inlmath]C_5^2\cdot 5={5\choose 2}\cdot 5=10\cdot 5=50[/inlmath] – i broja slučajeva da u uzorku ima tri porodice s jednim detetom – taj broj slučajeva iznosi [inlmath]C_5^3={5\choose 3}=10[/inlmath]. Znači, ukupno [inlmath]50+10=60[/inlmath].

[inlmath]A_2[/inlmath]: Broj mogućih realizacija ovog događaja jednak je zbiru broja slučajeva da u uzorku ima tačno dve porodice s troje dece, pri čemu je treća porodica jedna od preostalih [inlmath]7[/inlmath] koje nemaju troje dece – taj broj iznosi [inlmath]C_3^2\cdot 7={3\choose 2}\cdot 7=3\cdot 7=21[/inlmath] – i broja slučajeva da u uzorku ima tri porodice s troje dece – taj broj slučajeva iznosi [inlmath]C_3^3={3\choose 3}=1[/inlmath]. Znači, ukupno [inlmath]21+1=22[/inlmath].

[inlmath]A_3[/inlmath]: Pošto se u ovom slučaju ne može desiti da sve tri porodice u uzorku imaju isti broj dece (tj. petoro dece), budući da ukupno ima samo dve porodice s petoro dece, broj mogućih realizacija ovog događaja svodi se samo na broj slučajeva da u uzorku ima tačno dve porodice s petoro dece, pri čemu je treća porodica jedna od preostalih [inlmath]8[/inlmath] koje nemaju petoro dece – taj broj iznosi [inlmath]C_2^2\cdot 8={2\choose 2}\cdot 8=1\cdot 8=8[/inlmath].

Kad saberemo broj mogućih slučajeva za [inlmath]A_1[/inlmath], [inlmath]A_2[/inlmath] i [inlmath]A_3[/inlmath], dobićemo broj mogućih slučajeva za događaj [inlmath]A[/inlmath], koji iznosi [inlmath]60+22+8=90[/inlmath], pa je verovatnoća događaja [inlmath]A[/inlmath] jednaka:
[dispmath]P\left(A\right)=\frac{90}{120}=\frac{3}{4}[/dispmath]

---

b)
Ukupan broj od sedmoro dece u tri izabrane porodice može se ostvariti na jedan od sledeća dva načina:
[inlmath]3+3+1\\
5+1+1[/inlmath]
Broj načina za slučaj [inlmath]3+3+1[/inlmath] jednak je broju kombinacija od [inlmath]3[/inlmath] elementa [inlmath]2.[/inlmath] klase bez ponavljanja (jer od ukupno [inlmath]3[/inlmath] porodice s troje dece biramo dve), pomnožen sa [inlmath]5[/inlmath] (jer od ukupno [inlmath]5[/inlmath] porodica s jednim detetom biramo jednu takvu porodicu). Znači, [inlmath]C_3^2\cdot 5={3\choose 2}\cdot 5=3\cdot 5=15[/inlmath].
Broj načina za slučaj [inlmath]5+1+1[/inlmath] jednak je broju kombinacija od [inlmath]5[/inlmath] elementa [inlmath]2.[/inlmath] klase bez ponavljanja (jer od ukupno [inlmath]5[/inlmath] porodica s jednim detetom biramo dve), pomnožen sa [inlmath]2[/inlmath] (jer od ukupno [inlmath]2[/inlmath] porodice s petoro dece biramo jednu takvu porodicu). Znači, [inlmath]C_5^2\cdot 2={5\choose 2}\cdot 2=10\cdot 2=20[/inlmath].

Prema tome, ukupan broj slučajeva da u izabranom uzorku bude sedmoro dece iznosi [inlmath]15+20=35[/inlmath].

Verovatnoća da u izabranom uzorku bude sedmoro dece, dakle, iznosi:
[dispmath]\frac{35}{120}=\frac{7}{24}[/dispmath]