MATEMANIJA

Cao drugari ne znam da li sam ovim prekrsio pravila foruma ali ja zaista ne znam kako da vam predstavim ovaj zadatak preko latex-a.
Zadatak 6. je u pitanju: http://prnt.sc/dy4ohr
E sad moje pitanje je da li bi neko mogao detaljno da mi objasni kako se radi ovaj tip zadataka jer su nam na vezbama objasnili neke osnove i dali zadatak rekavsi kao uradite ga.

Na slici je dat model jezika [inlmath]\mathcal{L}=\{q\}[/inlmath] ([inlmath]\text{ar}(q)=2[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath] je predstavljeno strelicom). Za svaki element modela odrediti formulu koja ga definiše.

Aki14 je napisao:Cao drugari ne znam da li sam ovim preksrio pravila foruma ali ja zaista ne znam kako da vam predstavim ovaj zadatak preko latex-a.

To se onda tekst zadatka prekuca sa slike, kao što sam ja sad učinio, a slika se kropuje (iseče) tako da sadrži samo ono što se ne može otkucati (u ovom slučaju crtež grafa).
Kad god nisi siguran oko nekih pravila, najbolje je da se pre objavljivanja posta konsultuješ s nekim od moderatora.

Pozdrav.
U ovakvim zadacima cilj je napisati formulu za svaki element modela, koja je tačna samo za taj element. Formule su naravno formule predikatske logike (logike prvog reda), sastavljene od dobro poznatih veznika i kvantifikatora ([inlmath]\land,\lor,\neg,\Rightarrow,\Leftrightarrow\forall,\exists[/inlmath]). Zadatak u suštini nije težak, samo je bitno poznavanje značenja navedenih simbola predikatske logike.

Najbolje je da potražiš neku "asimetriju" u grafu koji si dobio. Na primer elementi [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath] su specifični po tome što iz njih idu strelice ka njima samima tj. imaju petlju. Zato je pogodno da se za njih prvo napišu formule, jer se oni po tome razlikuju od ostalih elemenata. Tu se krije i mala začkoljica. Samo na osnovu osobine da je element u relaciji sa samim sobom (da ima petlju) ne možemo razlikovati [inlmath]a[/inlmath] od [inlmath]c[/inlmath]. Zbog toga moramo uvesti u igru i element [inlmath]b[/inlmath].
Element [inlmath]a[/inlmath] ćemo definisati kao element ([inlmath]x[/inlmath]) koji je u relaciji sa samim sobom, i u relaciji je sa nekim elementom ([inlmath]x_1[/inlmath]) koji je opet u relaciji sa elementom koji ima petlju ([inlmath]x_2[/inlmath]). Dakle formula za [inlmath]a[/inlmath] bi izgledala ovako:
[dispmath]\Phi_a(x)=q(x,x)\land\exists x_1\exists x_2\bigl(q(x,x_1)\land q(x_1,x_2)\land q(x_2,x_2)\land\neg q(x_1,x_1)\bigr)[/dispmath] Formula [inlmath]\neg q(x_1,x_1)[/inlmath] nam govori da [inlmath]x_1[/inlmath] nije u relaciji sa samim sobom tj. [inlmath]x_1[/inlmath] ne može biti [inlmath]a[/inlmath]. Inače bi i trojka [inlmath](x_1,x_2,x_3)=(a,a,a)[/inlmath], ili [inlmath](c,c,c)[/inlmath], zadovoljavala formulu. U zavisnosti kako ste definisali jezik logike prvog reda, moguće je (ili nije) koristiti znak jednakosti, pa se i sličan uslov može zapisati [inlmath]\neg x=x_1[/inlmath].
Slično smo mogli da definišemo [inlmath]c[/inlmath]. Međutim za tim sada nema potrebe jer imamo element [inlmath]a[/inlmath] koji možemo iskoristiti za definisanje ostalih elemenata.
Element [inlmath]b[/inlmath] je jedini takav da iz [inlmath]a[/inlmath] ide strelica ka njemu, a pritom on sam nije [inlmath]a[/inlmath]!. Dakle za [inlmath]b[/inlmath] bismo mogli da definišemo ovakvu formulu.
[dispmath]\Phi_b(x)=\exists x_1\bigl(\Phi_a(x_1)\land q(x_1,x)\land\neg q(x,x)\bigr)[/dispmath] Element [inlmath]c[/inlmath] definišemo kao (sada nema potrebe za dodatnim uslovom):
[dispmath]\Phi_c(x)=\exists x_1\bigl(\Phi_b(x_1)\land q(x_1,x)\bigr)[/dispmath] I slično možemo definisati i ostale elemente...
Naravno ovo nije jedino rešenje.

Zadatak je inace sa junskog roka od prosle godine iz ispita Uvod u matematicku logiku na Matf-u u Beogradu i na stranici katedre gde pripada ovaj predmet okaceno je i resenje tog roka (verovatno je resio neko od asistenata): http://alas.matf.bg.ac.rs/~mr03047/roko ... .14tok.pdf.