MATEMANIJA

Zadatak glasi:
Naći model i kontramodel za formulu [inlmath]\exists x\forall y\;p(x,y)[/inlmath].

Da li bi neko mogao da mi kaže na koji način se rešavaju ovakvi zadaci? Tražio sam svuda, ali nigde dovoljno objašnjeno. Izvinjavam se što nemam nikakav postupak, baš zato se i obraćam.
Hvala unapred

Pretpostaviću da [inlmath]p[/inlmath] označava relaciju i da umesto te oznake treba zapravo da stoji oznaka [inlmath]\rho[/inlmath] (jer je to dosad bila česta greška ovde na forumu).

Najtrivijalniji primeri bi ti bili neprazan skup i puna relacija za model, kao i neprazan skup i prazna relacija za kontramodel. Kod nepraznog skupa i pune relacije svaki element je u relaciji sa svakim, pa samim tim i dati iskaz mora biti tačan bez obzira na vrednosti elemenata skupa. Kod nepraznog skupa i prazne relacije nijedan element nije u relaciji ni s jednim elementom, tako da je dati iskaz netačan bez obzira na izbor skupa.

Ako se traži da navedeš model i kontramodel koristeći neke od standardnih brojnih skupova i relacija, onda uočiš da taj iskaz znači sledeće:
Postoji neki element skupa koji je u relaciji sa svim elementima skupa.
Odavde odmah vidiš da će kontramodel biti relacija jednakosti u kombinaciji s bilo kojim skupom s dva ili više elementa. Dakle, [inlmath](\mathbb{N},=)[/inlmath], [inlmath](\mathbb{Z},=)[/inlmath], [inlmath](\mathbb{Q},=)[/inlmath], [inlmath](\mathbb{R},=)[/inlmath]... sve će to biti kontramodeli, zbog toga što, koji god element nekog od tih skupova da izabereš, on neće biti jednak nijednom od preostalih elemenata skupa (osim samom sebi), logično. Npr. izabereš element [inlmath]3[/inlmath] iz skupa [inlmath]\mathbb{N}[/inlmath], on neće biti jednak elementu [inlmath]2[/inlmath], elementu [inlmath]4[/inlmath], elementu [inlmath]5[/inlmath] itd. (biće jednak samo sebi).

Kontramodel ćeš takođe dobiti i ako uz neke od tih skupova izabereš relaciju [inlmath]>[/inlmath] (ili [inlmath]\ge[/inlmath]). Tada će dati iskaz glasiti (recimo, za [inlmath]\mathbb{N}[/inlmath]) da postoji neki prirodan broj koji je veći (veći ili jednak) od svih prirodnih brojeva, a to znamo da nije tačno, jer ako na taj posmatrani prirodan broj dodaš npr. jedinicu, dobićeš novi prirodan broj, od kojeg posmatrani prirodan broj neće biti ni veći, ni veći ili jednak.

Model bi, recimo, bio [inlmath](\mathbb{N},\le)[/inlmath] (ali bi [inlmath](\mathbb{N},<)[/inlmath], [inlmath](\mathbb{R},<)[/inlmath], [inlmath](\mathbb{R},\le)[/inlmath] itd. bili kontramodeli).
Model bi takođe bio i [inlmath](\mathbb{Z},\rho)[/inlmath], gde je [inlmath]\rho[/inlmath] definisana kao [inlmath]\rho(x,y)\iff x\cdot y=0[/inlmath].
Pokušaj da kod ova dva poslednja primera sam uočiš zbog čega je tako.