MATEMANIJA

Neka su formule [inlmath]A\Rightarrow(A\underline\lor B)[/inlmath] i [inlmath]\neg A\lor B\Rightarrow A[/inlmath] tautologije.
Dokazati da je tada [inlmath]A[/inlmath] tautologija, a [inlmath]B[/inlmath] kontradikcija.
Da li bi neko mogao da mi objasni kako se rade ovi zadaci? Pokušao bih, ali nisam siguran kako.
Hvala unapred

Evo jednog pokušaja:
Napravio sam tablicu i dodelio svima vrednost.
Dobijam da je [inlmath]\neg A\lor B[/inlmath] ekvivalentno sa [inlmath]A\Rightarrow(A\underline\lor B)[/inlmath], kao i da su [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]\neg A\lor B\Rightarrow A[/inlmath] takođe ekvivalentni.
Dalje, zaključujem da je [inlmath]\neg A\lor B=1[/inlmath]. Iz toga sledi [inlmath]A\Rightarrow B=1[/inlmath]. I na kraju, to je sve osim toga da je [inlmath]A[/inlmath] tautologija, a [inlmath]B[/inlmath] kontradikcija.
Ne razumem.

Komanda \veebar se ne nalazi u Latex-paketu koji je instaliran na forumu (čudi me da ti je prilikom objavljivanja postova promakla poruka o grešci), ali zato komanda \underline\lor vrši funkciju sasvim dobro.

OK, možeš dokaz izvesti i pomoću tablice (po meni, manje zanimljiv način), ali trebalo je da dobiješ da je prva formula, [inlmath]A\Rightarrow(A\underline\lor B)[/inlmath], ekvivalentna sa [inlmath]\neg A\lor\neg B[/inlmath], a ne sa [inlmath]\neg A\lor B[/inlmath] kako si ti dobio.

[dispmath]\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
A & B & A\underline\lor B & A\Rightarrow(A\underline\lor B)\\ \hline
a_1 & b_1 & a_1\underline\lor b_1 & 1\\ \hline
a_2 & b_2 & a_2\underline\lor b_2 & 1\\ \hline
a_3 & b_3 & a_3\underline\lor b_3 & 1\\ \hline
a_4 & b_4 & a_4\underline\lor b_4 & 1\\ \hline
\end{array}\\\
\\\
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline
A & B & \neg A & \neg A\lor B &\neg A\lor B\Rightarrow A\\ \hline
a_1 & b_1 & \neg a_1 & \neg a_1\lor b_1 & 1\\ \hline
a_2 & b_2 & \neg a_2 & \neg a_2\lor b_2 & 1\\ \hline
a_3 & b_3 & \neg a_3 & \neg a_3\lor b_3 & 1\\ \hline
a_4 & b_4 & \neg a_4 & \neg a_4\lor b_4 & 1\\ \hline
\end{array}[/dispmath] Sad treba samo malo diskutovati.
Diskutujemo prvu tabelu:
Prema osobini implikacije [inlmath]0\Rightarrow N=1[/inlmath] (naravno [inlmath]N[/inlmath] je bilo koja interpretacija neke formule)
Odnosno ako je[inlmath]A=0[/inlmath], tautologija u prvoj tablici je ispunjena za svako [inlmath]B[/inlmath]
Takodje za implikaciju važi [inlmath]1\Rightarrow1=1[/inlmath]
Tako da, ako je [inlmath]A=1[/inlmath], tada [inlmath]A\underline\lor B=1[/inlmath]
Odnosno [inlmath]\neg A=B[/inlmath], a kako smo pretpostavili u ovom slučaju da je [inlmath]A=1[/inlmath], tada je [inlmath]B=0[/inlmath]

Ispitujemo drugu tabelu:
Možemo odmah primetiti jednu stvar, ako je [inlmath]A=0[/inlmath], dobijamo slučaj [inlmath](\neg A\lor B\Rightarrow A)\iff\underbrace{(1\Rightarrow0)}_0[/inlmath]
Odmah vidimo da je to kontradikcija sa činjenicom da je [inlmath]\neg A\lor B\Rightarrow A[/inlmath] tautologija [inlmath]\Rightarrow A=1[/inlmath]
Konačno za drugu tabelu [inlmath]B[/inlmath] može imati bilo koju vrednost, ali na osnovu prve tabele zaključujemo da je [inlmath]B=0[/inlmath], odnosno [inlmath]A[/inlmath] je tautologija, [inlmath]B[/inlmath] je kontradikcija.
[dispmath]\begin{array}{|c|c|}\hline
A & B\\ \hline
1 & 0\\ \hline
1 & 0\\ \hline
1 & 0\\ \hline
1 & 0\\ \hline
\end{array}[/dispmath]