MATEMANIJA

1. Pitanje
1. Zadatak: Korišćenjem logičkih operacija i kvantora zapisati rečenicu:
"Postoji zajednički sadržalac za bilo koje prirodne brojeve [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath]".

Da li je bitan redosled kvantifikatora (ja smatram da nije, ali nisam siguran):
[dispmath](\exists z)(\forall x)(\forall y)(x\mid z\;\land\;y\mid z),\\
(\forall x)(\forall y)(\exists z)(x\mid z\;\land\;y\mid z).[/dispmath] Ali, da sam recimo promenio u potpunosti brojčano kvantifikatore i njihov odnos, tu bi već došlo do osetne promene, bez obzira na njihov redosled - takođe:
[dispmath](\forall z)(\exists x)(\exists y)(x\mid z\;\land\;y\mid z),\\
(\exists x)(\exists y)(\forall z)(x\mid z\;\land\;y\mid z).[/dispmath]
2. Pitanje
Nije mi najjasnije na osnovu čega se u matematici došlo do sledećeg pravila:
[dispmath](\forall x\in\mathbb{N})\thinspace p(x)\iff(\forall x)\thinspace\bigl(x\in\mathbb{N}\;\Longrightarrow\;p(x)\bigr),\\
(\exists x\in\mathbb{N})\thinspace p(x)\iff(\exists x)\thinspace\bigl(x\in\mathbb{N}\;\land\;p(x)\bigr).[/dispmath] Konkretno - pitam se zašto je kvantifikatoru [inlmath]\forall[/inlmath] pripala [inlmath]\Longrightarrow[/inlmath] (implikacija), dok je kvantifikatoru [inlmath]\exists[/inlmath] pripala [inlmath]\land[/inlmath] (konjunkcija)? Jer, nisam primetio i nakon više urađenih zadataka neku ključnu razliku prilikom zaključivanja. Bilo bi mi puno jasnije ako bi neki od članova napisao i primere sa zadacima i ključnim razlikama koje nastaju, naravno, ako postoje i ako nisu matematičari proizvoljno dodelili kvantifikatorima logičke operacije koje važe za njih.

3. Pitanje
Verujem da čovek kao i u recimo srpskom jeziku i svakom drugom može na više načina da 'poentira' tj. da nešto predstavi onakvim kakvim jeste na više različitih načina, pa iz tog razloga i sledi moje pitanje:
2. Zadatak: Korišćenjem logičkih operacija i kvantora zapisati sledeće rečenice:
a) "Postoji najviše jedan broj čiji je kvadrat nula";
b) "Postoji tačno jedan broj čiji je kvadrat nula".
Rešenja:
a) [inlmath]\lnot(\exists x)(\exists y)\thinspace\left(x^2=0\;\land\;y^2=0\;\land\;x\neq y\right)[/inlmath];
b) [inlmath](\exists x)\Bigl(x^2=0\;\land\;(\forall y)\left(y^2=0\;\land\;y\Longrightarrow x\right)\Bigr)[/inlmath], a šta da sam napisao recimo [inlmath](\exists_1x)\left(x^2=0\right)[/inlmath] zar nije i to tačno?
I ono najvažnije; po meni su rešenja slobodno mogla da se zamene (da podzadatku a odgovara rešenje b, i obratno), i da odgovori opet budu tačni (izuzev mog rešenja sa kvantorom [inlmath]\exists_1x[/inlmath]). Ja nikako ne mogu da primetim razliku koje su to finese koje odlučuju za reč 'najviše' i 'tačno', a da su prenete u formulu. I otkud bih se ja setio baš tako da napišem formulu, držao bih se tih ideja zasigurno, ali najverovatnije bih ga napisao bar malo drugačije - e baš to mi se dešava kod većine zadataka da se rešenja ne poklapaju, ali da prenose sličnu misao - donekle.
I u vezi ovog pitanja zamolio bih po neki primer, ili još bolje da se ovaj zadatak sa svojim podzadacima reši na više načina.

Matematička logika mi nije jača strana, pa ću prokomentarisati samo treći zadatak.

Ponuđene rečenice nikako nisu iste sa jezičke tačke gledišta. U prvoj se kaže da "najviše jedan broj ima kvadrat jednak nuli", ili, drugim rečima, najviše može da bude jedan takav broj, a može da ih bude i manje. Dakle ova rečenica nam kaže da brojeva sa kvadratom jednakim nuli može da bude ili nula (ne postoji takav broj) ili jedan.

U drugoj rečenici se kaže da "tačno jedan broj ima kvadrat jednak nuli". Dakle ni manje ni više nego jedan jedini.

Naravno, kada nam "jezičke" rečenice saopštavaju različite informacije, onda ni njihovi matematički zapisi ne mogu da budu isti.

1. Pitanje

štime je napisao:Da li je bitan redosled kvantifikatora (ja smatram da nije, ali nisam siguran):
[dispmath](\exists z)(\forall x)(\forall y)(x\mid z\;\land\;y\mid z),\\
(\forall x)(\forall y)(\exists z)(x\mid z\;\land\;y\mid z).[/dispmath]

I te kako je bitan redosled. Promenom redosleda suštinski se menja značenje. Prvi iskaz bi glasio „Postoji neki broj [inlmath]z[/inlmath] koji predstavlja zajednički sadržalac za svaka dva broja“, dok drugi iskaz glasi „Za svaka dva broja postoji neki njihov zajednički sadržalac“. Očigledno da je, ukoliko se posmatra skup prirodnih brojeva, prvi iskaz netačan a drugi tačan (i taj drugi iskaz je, zapravo, onaj iskaz koji je i zadat, samo s malo izmenjenim redosledom reči).

Sličan primer bi bile rečenice „Postoji jezik koji govore svi ljudi na svetu“ i „Svaki čovek na svetu govori neki jezik“. Ako razumeš razliku u smislu između ove dve rečenice, neće ti biti problem ni da razumeš razliku između ta dva iskaza koja si naveo.

štime je napisao:Ali, da sam recimo promenio u potpunosti brojčano kvantifikatore i njihov odnos, tu bi već došlo do osetne promene, bez obzira na njihov redosled - takođe:
[dispmath](\forall z)(\exists x)(\exists y)(x\mid z\;\land\;y\mid z),\\
(\exists x)(\exists y)(\forall z)(x\mid z\;\land\;y\mid z).[/dispmath]

Tako je, promena je i ovde drastična. Prvi iskaz bi glasio „Svaki broj predstavlja zajednički sadržalac neka dva broja“ (što je u skupu prirodnih brojeva tačno, jer svaki prirodan broj jeste zajednički sadržalac jedinice i samog sebe). Drugi iskaz bi glasio „Postoje neka dva broja takva da je svaki broj njihov zajednički sadržalac“ (što je takođe tačno, jer su ta dva broja [inlmath]1[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath] (nije rečeno da ta dva broja moraju biti različita)). Oba ova iskaza su bitno drugačija od onog iskaza koji je zadat.

@miletrans, pre svega hvala što si izdvojio vreme i pokušao da mi pomogneš. Ali, iskren da budem i dalje mi nije potpuno jasno kakva je to razlika.
I ako bi mogao da mi kažeš da li u 2. zadatku pod b, u redu ova formula [inlmath](\exists_1x)\left(x^2=0\right)[/inlmath] kao rešenje tog zadatka?

@Daniel, hvala na dosadašnjoj pomoći, ali bune me neke novonastale okolnosti:

Daniel je napisao:1. Pitanje

štime je napisao:Da li je bitan redosled kvantifikatora (ja smatram da nije, ali nisam siguran):
[dispmath](\exists z)(\forall x)(\forall y)(x\mid z\;\land\;y\mid z),\\
(\forall x)(\forall y)(\exists z)(x\mid z\;\land\;y\mid z).[/dispmath]

I te kako je bitan redosled. Promenom redosleda suštinski se menja značenje. Prvi iskaz bi glasio „Postoji neki broj [inlmath]z[/inlmath] koji predstavlja zajednički sadržalac za sve brojeve“, dok drugi iskaz glasi „Za svaka dva broja postoji neki njihov zajednički sadržalac“.

Daniel je napisao:

štime je napisao:Ali, da sam recimo promenio u potpunosti brojčano kvantifikatore i njihov odnos, tu bi već došlo do osetne promene, bez obzira na njihov redosled - takođe:
[dispmath](\forall z)(\exists x)(\exists y)(x\mid z\;\land\;y\mid z),\\
(\exists x)(\exists y)(\forall z)(x\mid z\;\land\;y\mid z).[/dispmath]

Tako je, promena je i ovde drastična. Prvi iskaz bi glasio „Svaki broj predstavlja zajednički sadržalac neka dva broja“ (što je u skupu prirodnih brojeva tačno, jer svaki prirodan broj jeste zajednički sadržalac jedinice i samog sebe). Drugi iskaz bi glasio „Postoje neka dva broja takva da je svaki broj njihov zajednički sadržalac“ (što je takođe tačno, jer su ta dva broja [inlmath]1[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath] (nije rečeno da ta dva broja moraju biti različita)). Oba ova iskaza su bitno drugačija od onog iskaza koji je zadat.

Da rezimiram u čemu nastaje zabuna:
[inlmath](\exists z)(\forall x)(\forall y)[/inlmath] - "Postoji neki...za sve brojeve". Zašto nije za svaka dva broja? Dok su preostala tri sasvim jasna;
[inlmath](\forall x)(\forall y)(\exists z)[/inlmath] - "Za svaka dva...postoji neki";
[inlmath](\forall z)(\exists x)(\exists y)[/inlmath] - "Svaki broj...neka dva broja";
[inlmath](\exists x)(\exists y)(\forall z)[/inlmath] - "Postoji neka dva...svaki broj".

I zamolio bih da mi neko odgovori i na 2. pitanje. Jer na njega nisam dobio odgovor, a užasno me zanima.

štime je napisao:Da rezimiram u čemu nastaje zabuna:
[inlmath](\exists z)(\forall x)(\forall y)[/inlmath] - "Postoji neki...za sve brojeve". Zašto nije za svaka dva broja? Dok su preostala tri sasvim jasna;

Da, to si dobro primetio, moja greška, zaista treba da stoji svaka dva broja. Hvala na opažanju, ispraviću da ne bi i ostale čitaoce zbunilo.
U principu, ako je taj broj sadržalac bilo koja dva broja nekog skupa, to znači da je sadržalac i neka druga dva broja, pa još neka druga dva broja... i tako induktivnim razmišljanjem dolazimo do toga da je taj broj sadržalac svih brojeva tog skupa, tako da ni to što sam napisao nije sasvim netačno. Ali, ako bismo doslovno tumačili taj iskaz, bez daljeg zaključivanja, onda je ispravno tumačenje „... za svaka dva broja“.

štime je napisao:I zamolio bih da mi neko odgovori i na 2. pitanje. Jer na njega nisam dobio odgovor, a užasno me zanima.

Polako, biće odgovor i na 2. pitanje, ali dosta si pitanja postavio, pa ne može sve odjednom. Tačka 16. Pravilnika.

@Daniel, čitao sam pravilnik, ali pomislio sam kako je ipak bolje da podsetim članove

Daniel je napisao:1. Pitanje

štime je napisao:Da li je bitan redosled kvantifikatora (ja smatram da nije, ali nisam siguran):
[dispmath](\exists z)(\forall x)(\forall y)(x\mid z\;\land\;y\mid z),\\
(\forall x)(\forall y)(\exists z)(x\mid z\;\land\;y\mid z).[/dispmath]

I te kako je bitan redosled. Promenom redosleda suštinski se menja značenje. Prvi iskaz bi glasio „Postoji neki broj [inlmath]z[/inlmath] koji predstavlja zajednički sadržalac za svaka dva broja“, dok drugi iskaz glasi „Za svaka dva broja postoji neki njihov zajednički sadržalac“. Očigledno da je, ukoliko se posmatra skup prirodnih brojeva, prvi iskaz netačan a drugi tačan (i taj drugi iskaz je, zapravo, onaj iskaz koji je i zadat, samo s malo izmenjenim redosledom reči).

Iskreno, nije mi jasno za koje [inlmath]x,y,z\in\mathbb{N}[/inlmath] neće važiti prvi iskaz, a drugi hoće? I takođe, i dalje ne mogu da primetim suštinsku razliku ako im promenimo redosled.

Dakle, u prvom primeru, kako smo se složili, iskaz glasi „Postoji neki broj [inlmath]z[/inlmath] koji predstavlja zajednički sadržalac za svaka dva broja“. I, dogovorili smo se (mada to nije u zadatku naglašeno) da posmatramo da li ovo važi u skupu prirodnih brojeva. E sad, ti mi kažeš neki prirodan broj [inlmath]z[/inlmath], a ja uvek mogu naći neka dva prirodna broja [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] takva da to [inlmath]z[/inlmath] koje si prethodno odabrao ne bude njihov zajednički sadržalac (npr. jedan od ta dva broja odaberem tako da bude veći od [inlmath]z[/inlmath], a samim tim [inlmath]z[/inlmath] ne može biti njegov sadržalac – to je jedan od mogućih kontraprimera). Time je pokazano da nije tačno da je moguće naći takav prirodan broj [inlmath]z[/inlmath] koji će biti zajednički sadržalac bilo koja dva prirodna broja.

S druge strane, u drugom iskazu, koji glasi „Za svaka dva broja postoji neki njihov zajednički sadržalac“, ti mi kažeš bilo koja dva prirodna broja [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath], a ja ću ti za njih uvek naći neki njihov zajednički sadržalac (npr. dovoljno je da ih samo pomnožim – proizvod [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] jeste njihov zajednički sadržalac).

Ako ti nije jasna suštinska razlika između ova dva primera, da li si razumeo onaj moj primer s ljudima i jezicima?

štime je napisao:2. Pitanje
Nije mi najjasnije na osnovu čega se u matematici došlo do sledećeg pravila:
[dispmath](\forall x\in\mathbb{N})\thinspace p(x)\iff(\forall x)\thinspace\bigl(x\in\mathbb{N}\;\Longrightarrow\;p(x)\bigr),\\
(\exists x\in\mathbb{N})\thinspace p(x)\iff(\exists x)\thinspace\bigl(x\in\mathbb{N}\;\land\;p(x)\bigr).[/dispmath] Konkretno - pitam se zašto je kvantifikatoru [inlmath]\forall[/inlmath] pripala [inlmath]\Longrightarrow[/inlmath] (implikacija), dok je kvantifikatoru [inlmath]\exists[/inlmath] pripala [inlmath]\land[/inlmath] (konjunkcija)?

[inlmath](\forall x\in\mathbb{N})p(x)[/inlmath] čitamo kao „Za svaki prirodan broj [inlmath]x[/inlmath] važi [inlmath]p(x)[/inlmath]“. Odatle intuitivno možemo zaključiti da, ako je [inlmath]x[/inlmath] prirodan broj tada [inlmath]p(x)[/inlmath] mora važiti, dok ako [inlmath]x[/inlmath] nije prirodan broj tada [inlmath]p(x)[/inlmath] može ali i ne mora važiti. To opet, drugim rečima, znači da iz podatka da je [inlmath]x[/inlmath] prirodan broj obavezno sledi [inlmath]p(x)[/inlmath]. Otuda implikacija.

[inlmath](\exists x\in\mathbb{N})p(x)[/inlmath] čitamo kao „Postoji neki prirodan broj [inlmath]x[/inlmath] takav da važi [inlmath]p(x)[/inlmath]“. Intuitivno je, opet, jasno da to možemo preformulisati tako da kažemo „Postoji neki broj [inlmath]x[/inlmath] koji je prirodan broj i za koji važi [inlmath]p(x)[/inlmath]. Otuda konjunkcija.

Haj'mo sada da u gornjim iskaznim formulama zamenimo znake implikacije i konjunkcije, pa da vidimo šta će se desiti.

[inlmath](\forall x)\bigl(x\in\mathbb{N}\;\land\;p(x)\bigr)[/inlmath] – ovo bismo čitali kao „Za svaki broj [inlmath]x[/inlmath] važi da je prirodan broj i da važi [inlmath]p(x)[/inlmath]“. Dakle, ovakvim iskazom se isključuje postojanje bilo kakvih drugih brojeva osim prirodnih. Vidimo da je, samim tim, ova iskazna formula suštinski različita od formule [inlmath](\forall x\in\mathbb{N})p(x)[/inlmath] koja ne isključuje postojanje drugih brojeva osim prirodnih, tako da ne važi ekvivalencija između [inlmath](\forall x\in\mathbb{N})p(x)[/inlmath] i [inlmath](\forall x)\bigl(x\in\mathbb{N}\;\land\;p(x)\bigr)[/inlmath].

[inlmath](\exists x)\thinspace\bigl(x\in\mathbb{N}\;\Longrightarrow\;p(x)\bigr)[/inlmath] – ovo bismo čitali kao „postoji neki broj [inlmath]x[/inlmath] takav da, ako je to prirodan broj, onda važi [inlmath]p(x)[/inlmath]“. Na prvi pogled, ovo se i ne razlikuje mnogo od [inlmath](\exists x\in\mathbb{N})p(x)[/inlmath], ali krije u sebi jednu „zamku“. Dok [inlmath](\exists x\in\mathbb{N})p(x)[/inlmath] ukazuje na obavezno postojanje bar jednog prirodnog broja, [inlmath](\exists x)\thinspace\bigl(x\in\mathbb{N}\;\Longrightarrow\;p(x)\bigr)[/inlmath] dopušta nepostojanje nijednog prirodnog broja (druga je stvar koliko je to matematički tačno, ali ovde se bavimo samo interpretacijom iskaza) jer leva strana implikacije ne mora biti tačna da bi implikacija bila tačna. Zbog toga ne važi ekvivalencija između [inlmath](\exists x\in\mathbb{N})p(x)[/inlmath] i [inlmath](\exists x)\thinspace\bigl(x\in\mathbb{N}\;\Longrightarrow\;p(x)\bigr)[/inlmath].

Sačekao bih da vidimo da li imaš u vezi s ovim nekih nejasnoća, pre nego što pređemo na 3. pitanje.