MATEMANIJA

Na izborima za parlament, svi koji su glasali za partiju "Jabuka" vole jabuke; [inlmath]90\%[/inlmath] onih, koji su glasali za druge partije, ne vole jabuke. Koliko [inlmath]\%[/inlmath] glasova je dobila partija "Jabuka", ako [inlmath]46\%[/inlmath] izaslih na izbore vole jabuke?

Dobro, jesmo rekli da nećemo politiku na ovom forumu?
Šalim se, naravno...

Označimo sa [inlmath]g[/inlmath] ukupan broj glasača, sa [inlmath]j[/inlmath] one koji vole jabuke, a sa [inlmath]d[/inlmath] one koji su glasali za druge partije, tj. one koji nisu glasali za "Jabuku". Broj onih koju su glasali a ne vole jabuke je tada [inlmath]g-j[/inlmath], pa važi:

[inlmath]g-j=0,9d[/inlmath]

Pošto [inlmath]46\%[/inlmath] glasača voli jabuke, biće

[inlmath]j=0,46g[/inlmath]

Na osnovu ove dve jednakosti:

[inlmath]g-0,46g=0,9d[/inlmath]

[inlmath]0,54g=0,9d[/inlmath]

[inlmath]d=\frac{0,54}{0,9}g[/inlmath]

Broj glasača "Jabuke" jednak je ukupnom broju glasača [inlmath]\left(g\right)[/inlmath] umanjenom za broj glasača drugih partija [inlmath]\left(d\right)[/inlmath]:

[inlmath]g-d=g-\frac{0,54}{0,9}g=\frac{0,36}{0,9}g[/inlmath]

što, izraženo u procentima glasačkog tela, iznosi [inlmath]\frac{0,36}{0,9}\cdot 100\%[/inlmath], tj. [inlmath]40\%[/inlmath]

Zadatak se može uraditi i preko formule totalne (potpune) verovatnoće. Najpre se postavljaju apriorne hipoteze:
[inlmath]H_1:[/inlmath] Birač glasao za "Jabuke"
[inlmath]H_2:[/inlmath] Birač nije glasao za "Jabuke"
Dalje, definišimo događaj:
[inlmath]A:[/inlmath] Birač voli jabuke
[inlmath]P(A)=0.46[/inlmath]
Zadate su i uslovne verovatnoće:
[inlmath]P(A/H_1)=1[/inlmath]
[inlmath]P(A/H_2)=1-0.9=0.1[/inlmath]
Sada je po formuli totalne verovatnoće:
[dispmath]P(A)=P(H_1)P(A/H_1)+P(H_2)P(A/H_2)[/dispmath][dispmath]0.46=P(H_1)\cdot1+[1-P(H_1)]\cdot0.1[/dispmath][dispmath]P(H_1)=0.4[/dispmath]