MATEMANIJA

Pozdrav! Za ovaj zadatak nisam našao odgovarajuću rubriku na sajtu, pa ako sam pogrešio istu molio bih da to neko premesti.

Naime, zadatak je sa prijemnog ispita MATF 2007 i glasi:
Broj mrava u mravinjaku se svake godine poveća za [inlmath]20\%[/inlmath]. Koliko najmanje godina treba da prođe da bi broj mrava postao bar dvaput veći nego u početku?

Tačan odgovor je naime [inlmath]4[/inlmath]. Ja sam razmišljao da ako bih broj mrava označio sa [inlmath]x[/inlmath], i onda na taj broj dodavao [inlmath]1.2[/inlmath] za svaku narednu godinu. Npr.:

[inlmath]x+1.2=x_1\\
x_1+1.2=x_2\\
x_2+1.2=x_3[/inlmath]
da ću dobiti u nekom trenutku neko tačno rešenje, ili čak zaključak neki da izvučem... Ali to me nije dovelo nikuda. Tako da ako bi neko mogao da priskoči u pomoć, bio bih veoma zahvalan.

Tinker je napisao:[inlmath]x+1.2=x_1\\
x_1+1.2=x_2\\
x_2+1.2=x_3[/inlmath]

Ovo iznad nema mnogo smisla, jer ti dodaješ [inlmath]1.2[/inlmath] broju [inlmath]x[/inlmath] koji predstavlja broj mrava.
Zadatak se može rešiti na sledeći način.
Neka je [inlmath]x[/inlmath] broj mrava u mravinjaku u početku. Nakon godinu dana broj mrava će biti [inlmath]x_1=1.2x[/inlmath], a nakon dve godine [inlmath]x_2=1.2x_1=1.2\cdot1.2x=1.44x[/inlmath], odnosno, uopšteno, nakon [inlmath]n[/inlmath]-te godine broj mrava je [inlmath]x_n=(1.2)^nx[/inlmath]. Dakle, traži se najmanji prirodni stepen broja [inlmath]1.2[/inlmath] koji je veći ili jednak [inlmath]2[/inlmath], a to je upravo [inlmath]4[/inlmath], jer je [inlmath](1.2)^4=2.0736[/inlmath], a [inlmath](1.2)^3=1.728[/inlmath].

Zapravo, @Tinker, ti si ovo radio kao da je aritmetički niz, a trebalo je kao geometrijski niz, ovako kako ti je Corba248 i pokazao.

Budući da na prijemnom kalkulator nije dozvoljen, onda je svakako najbolji taj način. Ali čisto uzgred da napomenem, ako bi nam kalkulator bio dostupan, onda se može raditi postavljanjem jednačine [inlmath]x_n\ge2x_0[/inlmath], gde je [inlmath]x_n=1,2^nx_0[/inlmath], odakle se kao rešenje dobije [inlmath]n\ge\log_{1,2}2[/inlmath], što se na kalkulatoru izračuna očas posla.

Tinker je napisao:Za ovaj zadatak nisam našao odgovarajuću rubriku na sajtu, pa ako sam pogrešio istu molio bih da to neko premesti.

Budući da već imamo solidan broj zadataka iz procenata, upravo sam za njih formirao posebnu rubriku i prebacujem tamo i ovaj, i sve ostale zadatke iz te oblasti.