Evo i moje ideje:
[dispmath]\frac{x!}{\left(x-3\right)!}+3\frac{x!}{\left(x-2\right)!}=\frac{1}{2}\left(x+1\right)![/dispmath]
Pomnožimo obe strane NZS-om svih imenilaca, a to je [inlmath]2\left(x-2\right)![/inlmath] (da bi [inlmath]V^3_x[/inlmath] i [inlmath]V^2_x[/inlmath] bili definisani, jasno je da mora biti [inlmath]x\ge3[/inlmath] jer su u pitanju varijacije bez ponavljanja, što znači da [inlmath]x\notin\left\{0,1,2\right\}[/inlmath]).
[dispmath]2\frac{x!\left(x-2\right)!}{\left(x-3\right)!}+6x!=\left(x+1\right)!\left(x-2\right)![/dispmath][dispmath]2\frac{\cancel{x!}\left(x-2\right)\cancel{\left(x-3\right)!}}{\cancel{\left(x-3\right)!}}+6\cancel{x!}=\left(x+1\right)\cancel{x!}\left(x-2\right)![/dispmath][dispmath]2x-4+6=\left(x+1\right)\left(x-2\right)![/dispmath][dispmath]2x+2=\left(x+1\right)\left(x-2\right)![/dispmath][dispmath]2\cancel{\left(x+1\right)}=\cancel{\left(x+1\right)}\left(x-2\right)![/dispmath][dispmath]\left(x-2\right)!=2[/dispmath][dispmath]\left(x-2\right)\cancel!=2\cancel![/dispmath][dispmath]x-2=2[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{x=4}[/dispmath]

---

A ako si već krenuo malo drugačijim putem pa došao do koraka
[dispmath]2+\frac{6}{x-2}=\left(x+1\right)\left(x-3\right)![/dispmath]
može se i to rešiti, tako što obe strane pomnožiš sa [inlmath]\left(x-2\right)[/inlmath]:
[dispmath]2\left(x-2\right)+6=\left(x+1\right)\underbrace{\left(x-2\right)\left(x-3\right)!}_{\left(x-2\right)!}[/dispmath][dispmath]2x+2=\left(x+1\right)\left(x-2\right)![/dispmath][dispmath]2\cancel{\left(x+1\right)}=\cancel{\left(x+1\right)}\left(x-2\right)![/dispmath][dispmath]\left(x-2\right)!=2[/dispmath][dispmath]\vdots[/dispmath]

Svaka čast
Znao sam da mora postojati neki fazon da se ovo uradi.

Evo i ja da dovršim svoju ideju:
[dispmath](x-3)!=\frac{2}{x-2}[/dispmath][dispmath](x-2)!=2[/dispmath][dispmath]x-2=2[/dispmath][dispmath]x=4[/dispmath]
Rešenje postoji i u domenu specijalnih funkcija, konkretno gama (ne Gamma ) funkcija može dati numerički rezultat ali ne u skupu prirodnih brojeva.

Desideri ako može još malo o tim specijalnim funkcijama, malo detaljnije

Gama funkcija je nesvojstveni integral, Ojlerova funkcija druge vrste, i data je sa:
[dispmath]\Gamma(p)=\int\limits_0^\infty x^{p-1}e^{-x}\mathrm dx\qquad p>0[/dispmath]
Više o tvojoj "imenjakinji" može se pročitati ovde.

Ako je [inlmath]p[/inlmath] prirodan broj tj. [inlmath]p=n[/inlmath] tada važi: [inlmath]\Gamma(n)=(n-1)![/inlmath]

Moglo bi se reći da je gama funkcija zapravo uopštavanje faktorijela, ili da je to "faktorijel" sa proširenim domenom. Ima takođe veliku primenu u teoriji verovatnoće, gde se neke neprekidne raspodele (Erlangova, hi-kvadrat, eksponencijalna) opisuju ili se mogu opisati preko gama funkcije.