Kako odrediti sledeću graničnu vrednost:
[dispmath]\lim_{x\to1}\frac{x^{m+1}-x^{n+1}+x^n-mx+m-1}{(x-1)^2}[/dispmath]
gdje su [inlmath]n,m\in\mathbb{N}[/inlmath]

Iskoristio sam smenu [inlmath]t=x-1,\;t\to0[/inlmath] pa je limes:
[dispmath]\lim_{t\to0}\frac{(t+1)^{m+1}-(t+1)^{n+1}+(t+1)^n-m(t+1)+m-1}{t^2}[/dispmath]
Lopitalovim pravilom nikako ne mogu "srediti" brojilac. Pretpostavljam da se treba upotrebiti binomna formula, ali su mi problem dva parametra [inlmath]n,m[/inlmath].

Hvala.

Nemoj uvoditi smenu. Na početni izraz, tj. onaj u kojem figuriše [inlmath]x[/inlmath], dvaput primeni l'Hôpitalovo pravilo. Pošto u imeniocu imaš polinom [inlmath]2.[/inlmath] stepena, jasno je da će njegov drugi izvod (do kojeg ćeš doći nakon dve primene l'Hôpitala) biti konstanta.

Ovaj limes se može rešiti i bez l'Hôpitala, na prilično komplikovaniji, ali zato i mnogo zanimljiviji način. Zbog kompleksnosti postupka, prikazaću ga celog, od početka do kraja.
U postupku će dvaput biti korišćena formula za razliku [inlmath]n[/inlmath]-tih stepena,
[dispmath]a^n-b^n=\left(a-b\right)\left(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\cdots +a^2b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1}\right)[/dispmath]
tj. njen specijalan slučaj za [inlmath]b=1[/inlmath], a koji glasi
[dispmath]a^n-1=\left(a-1\right)\left(a^{n-1}+a^{n-2}+a^{n-3}+\cdots +a^2+a+1\right)[/dispmath]

---

Dakle, početni izraz glasi:
[dispmath]\lim_{x\to1}\frac{x^{m+1}-x^{n+1}+x^n-mx+m-1}{\left(x-1\right)^2}=[/dispmath]
Grupišemo sabirke na pogodan način, kako bismo u narednom koraku mogli izvući [inlmath]\left(x-1\right)[/inlmath] kao zajednički faktor:
[dispmath]=\lim_{x\to1}\frac{\left(x^{m+1}-1\right)-\left(x^{n+1}-x^n\right)-\left(mx-m\right)}{\left(x-1\right)^2}=[/dispmath][dispmath]=\lim_{x\to1}\frac{\left(x-1\right)\left(x^m+x^{m-1}+\cdots+x^2+x+1\right)-x^n\left(x-1\right)-m\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)^2}=[/dispmath][dispmath]=\lim_{x\to1}\frac{\cancel{\left(x-1\right)}\left(x^m+x^{m-1}+\cdots+x^2+x+1-x^n-m\right)}{\left(x-1\right)^{\cancel2}}=[/dispmath][dispmath]=\lim_{x\to1}\frac{x^m+x^{m-1}+\cdots+x^2+x+1-x^n-m}{x-1}=[/dispmath][dispmath]=\lim_{x\to1}\frac{x^m+x^{m-1}+\cdots+x^2+x-m-\left(x^n-1\right)}{x-1}=[/dispmath]
Sada [inlmath]m[/inlmath] napišemo kao zbir [inlmath]m[/inlmath] jedinica,
[dispmath]=\lim_{x\to1}\frac{x^m+x^{m-1}+\cdots+x^2+x-\overbrace{1-1-\cdots-1}^{m\;\mathrm{jedinica}}-\left(x^n-1\right)}{x-1}=[/dispmath]
i grupišemo te jedinice svaku uz po jedan stepen broja [inlmath]x[/inlmath],
[dispmath]=\lim_{x\to1}\frac{\left(x^m-1\right)+\left(x^{m-1}-1\right)+\cdots+\left(x^2-1\right)+\left(x-1\right)-\left(x^n-1\right)}{x-1}=[/dispmath][dispmath]=\lim_{x\to1}\left(\frac{x^m-1}{x-1}+\frac{x^{m-1}-1}{x-1}+\cdots+\frac{x^2-1}{x-1}+\frac{x-1}{x-1}-\frac{x^n-1}{x-1}\right)=[/dispmath]
Budući da iz formule za razliku [inlmath]n[/inlmath]-tih stepena
[inlmath]a^n-1=\left(a-1\right)\left(a^{n-1}+a^{n-2}+\cdots+a^2+a+1\right)[/inlmath]
sledi formula
[inlmath]\frac{a^n-1}{a-1}=a^{n-1}+a^{n-2}+\cdots+a^2+a+1[/inlmath]
možemo je odmah primeniti na prethodni izraz,
[dispmath]=\lim_{x\to1}\Big[\left(x^{m-1}+\cdots+x^2+x+1\right)+\left(x^{m-2}+\cdots+x^2+x+1\right)+\\
+\cdots+\left(x+1\right)+1-\left(x^{n-1}+\cdots+x^2+x+1\right)\Big]=[/dispmath]
Pošto smo se oslobodili imenioca, nećemo više prilikom uvrštavanja [inlmath]x=1[/inlmath] imati ni deljenje nulom, tako da sada bez problema možemo uvrstiti [inlmath]x=1[/inlmath]:
[dispmath]=\left(1^{m-1}+\cdots+1^2+1+1\right)+\left(1^{m-2}+\cdots+1^2+1+1\right)+\cdots+\left(1+1\right)+1-\left(1^{n-1}+\cdots+1^2+1+1\right)=[/dispmath][dispmath]=\underbrace{1+\cdots+1+1+1}_{m\;\mathrm{jedinica}}+\underbrace{1+\cdots+1+1+1}_{m-1\;\mathrm{jedinica}}+\cdots+\underbrace{1+1}_2+1-\underbrace{\left(1+\cdots+1+1+1\right)}_{n\;\mathrm{jedinica}}=[/dispmath][dispmath]=\underbrace{m+\left(m-1\right)+\cdots+2+1}_{\mbox{suma aritmetičkog niza}}-n=[/dispmath][dispmath]=\frac{m}{2}\left(m+1\right)-n[/dispmath]
što je rezultat identičan onom koji bi se dobio primenom l'Hôpitalovog pravila.