@Daniel

Hvala na ispravkama, upotrebio sam vašu ideju da se preko indukcije izrazi [inlmath]x_n[/inlmath] preko [inlmath]n[/inlmath]. Dobio sam [dispmath]x_n=\left(\frac{2n-3}{n-1}\right)^{n-1}[/dispmath].
Odavde sledi da granična vrednost ne postoji ili je beskonačna

Je li ovo ispravno?

@Daniel

Ali zar ne bi trebao da figuriše i parametar [inlmath]a[/inlmath]?

@Daniel

Dodao bih
[dispmath]x_n=\left(\frac{2n-3}{n-1}a\right)^{n-1}[/dispmath]

Trebalo bi da je ovako (konsultovao sam se i s Danielom):
[dispmath]x_n=a\cdot\frac{(2n-3)!!}{(n-1)!}[/dispmath]
Nakon svođenja na jednostruke faktorijele dobio sam:
[dispmath]x_n=a\cdot\frac{n}{2n-1}\cdot\frac{\left(2n\right)!}{2^n\left[\left(n\right)!\right]^2}[/dispmath]
Primenio sam i Stirlingovu formulu (uz graničnu vrednost kada [inlmath]n[/inlmath] teži beskonačnosti).
Fali mi "dole" jedno [inlmath]2^n[/inlmath], a ovako svakako imam divergenciju.
Ako bi dole bilo još jedno [inlmath]2^n[/inlmath] lako bi se našla konačna granična vrednost.
No, možda je zadatak i prostiji nego što mi se učinio, tj. da samo treba konstatovati divergenciju.

@display_error,
Molim te, bez persiranja.
Ako hoćeš, možeš napisati postupak kojim si došao do (netačnog) izraza [inlmath]x_n=\left(\frac{2n-3}{n-1}a\right)^{n-1}[/inlmath], kako bismo ti ukazali na grešku.

Treba da se dobije, kao što Desideri napisa, [inlmath]x_n=a\cdot\frac{(2n-3)!!}{(n-1)!}[/inlmath], iliti,
[dispmath]x_n=\frac{2n-3}{n-1}\cdot\frac{2n-5}{n-2}\cdot\frac{2n-7}{n-3}\cdots\frac{7}{4}\cdot\frac{5}{3}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{1}a[/dispmath]
Divergencija ovog niza može se zaključiti i bez Stirlingove formule, a na osnovu [inlmath]x_{n+1}=\frac{2n-1}{n}x_n[/inlmath], što je izraz do kojeg si i sâm došao. Iz tog izraza vidimo da se vrednost narednog člana niza dobije tako što se prethodni član niza pomnoži sa [inlmath]\frac{2n-1}{n}[/inlmath], koje se sve više približava dvojci kako [inlmath]n[/inlmath] raste. Odatle je očigledno da niz divergira.