Zadatak je jako interesantan.
Naravno da su i Danielova i bobanexova ideja super, uostalom zadatak je i rešen.
Drugo nešto me je zainteresovalo.
Računao sam sve vrednosti traženog zbira (i programski i po dokazanoj formuli) za [inlmath]n\le15[/inlmath].
Evo šta sam dobio:

n zbir
1 1
2 12
3 123
4 1234
5 12345
6 123456
7 1234567
8 12345678
9 123456789
10 1234567900
11 12345679011
12 123456790122
13 1234567901233
14 12345679012344
15 123456790123455

Jasno je kao dan ovo do [inlmath]n=9[/inlmath]. Dovoljno je zamisliti pešačko sabiranje s potpisivanjem.
Ali onda nestaje cifra [inlmath]8[/inlmath]. U rezultatu, za svako [inlmath]n\ge10[/inlmath].
Tvrdim da to nije slučajno.
Štaviše, mislim da je neće nikada ni biti. Cifre [inlmath]8[/inlmath] za [inlmath]n\ge10[/inlmath].
da li sam u pravu

I još nešto. Pokušavam da dokažem da će za svako [inlmath]n\ge10[/inlmath] prvih osam cifara traženog zbira biti [inlmath]12345679[/inlmath] .
I da osmice nema. Ni u ovom podnizu cifara, ni u nastavku.

Možda će lakše biti ako brojeve prikažeš poravnato uz desnu ivicu, ovako:
[dispmath]\begin{array}{rr}
1 & 1\\
2 & 12\\
3 & 123\\
4 & 1234\\
5 & 12345\\
6 & 123456\\
7 & 1234567\\
8 & 12345678\\
9 & 123456789\\
10 & 1234567900\\
11 & 12345679011\\
12 & 123456790122\\
13 & 1234567901233\\
14 & 12345679012344\\
15 & 123456790123455
\end{array}[/dispmath] Da osmice neće biti u levom podnizu cifara, to si verovatno u pravu (nisam se još bavio dokazom), ali će je sigurno biti u nastavku. I to već za [inlmath]n=18[/inlmath]. Štaviše, osmica će biti na poslednjem mestu uvek kada se [inlmath]n[/inlmath] završava osmicom (jer se poslednja cifra zbira dobija sabiranjem jedinica [inlmath]n[/inlmath] puta, pri čemu će ta poslednja cifra biti [inlmath]n\bmod10[/inlmath]. Primer: [inlmath]n=3748[/inlmath], pa je [inlmath]n\bmod10=3748\bmod10=8[/inlmath], tj. poslednja cifra je [inlmath]8[/inlmath].

Opet ja, nadam se da ne dosađujem ovim. Ali pogledajte, ako ikoga zanima:
Za [inlmath]n=16[/inlmath] dobijem zbir [inlmath]1234567901234566[/inlmath].
Ovo me podseti na "look and say" zadatke kojima smo se bavili. Zanima me samo pravilnost kada dođemo do dve devetke na kraju, koji je sledeći broj?
Ako preterujem sa širenjem teme, samo kažite

I da, Daniel, u pravu si za osmicu na kraju, mora ih i dve biti po ovom pravilu za [inlmath]n=18[/inlmath].

Kako si to dobio? Za [inlmath]n=20[/inlmath] ja dobijem jedinicu i nulu na kraju.
Poslednja cifra je jednaka [inlmath]n\bmod10[/inlmath], a pretposlednja cifra je jednaka [inlmath]\left(n-1+\lfloor\frac{n}{10}\rfloor\right)\bmod10[/inlmath].

Obrisah post, pogrešio sam, ručno sam radio. Tačno je:

Daniel je napisao:Za [inlmath]n=20[/inlmath] ja dobijem jedinicu i nulu na kraju.

Ali tvoje poravnavanje uz desnu ivicu je sjajno, po vertikalama se uočava pravilnost.