E ovakve stvari me bune, kako dokazati ovakve stvari!? Specijalno 1). Pokusacu da odradim za 2)
Dokazujemo 2):
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{e^n}{n^e}=\infty[/dispmath]
Koristeci tejlorov razvoj ili binomni razvoj za [inlmath]\left(1+\frac{1}{n}\right)^n[/inlmath] kako god hocete, dobijamo:
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{1+n+\frac{n^2}{2!}+\frac{n^3}{3!}+\frac{n^4}{4!}\cdots}{n^e}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n^e}+\frac{1}{n^{e-1}}+\frac{1}{2!\cdot n^{e-2}}+\frac{n^{3-e}}{3!}+\frac{n^{4-e}}{4!}\cdots\right)[/dispmath]
I odavde vidimo da prva tri clana teze nuli dok ostali teze [inlmath]\infty[/inlmath] pa imamo da cela granicna vrednost tezi [inlmath]\infty[/inlmath]. Pa odavde zakljucujemo da [inlmath]e^n[/inlmath] tezi "brze" beskonacnosti od [inlmath]n^e[/inlmath].
1) I sad cu da probam da dokazem prvi slucaj indukcijom
[dispmath]n!>e^n[/dispmath]
Ovo vazi za [inlmath]n>5[/inlmath].
1. Proveravamo za [inlmath]n=6[/inlmath]:
[dispmath]6!>e^6[/dispmath][dispmath]720>403.4287\ldots[/dispmath]
Znaci vazi za [inlmath]n=6[/inlmath].
2. Mnozimo obe strane sa [inlmath]n+1[/inlmath].
[dispmath]n!\cdot(n+1)>e^n\cdot(n+1)[/dispmath][dispmath](n+1)!>ne^n+e^n>ne^n>e\cdot e^n=e^{n+1}[/dispmath][dispmath](n+1)!>e^{n+1}[/dispmath]
Opravdanost za [inlmath]ne^n>e\cdot e^n[/inlmath] lezi u tome sto je [inlmath]n>6[/inlmath].

Mislim da je sasvim ok dokaz matematičkom indukcijom da je:
[dispmath]n!>e^n[/dispmath]
Nisam ga pre video, no baš mi se svideo
Eto, malo i rimovano...

Ja sam mislio da to pokažem preko Stirlingove formule:
[dispmath]n!=n^n\cdot e^{-n}\cdot\sqrt{2\pi n}\cdot e^{\Large-\frac{\theta}{12n}}\qquad\theta=\theta(n)\qquad0<\theta<1[/dispmath]
I za ovu formulu postoji formalan dokaz, no ne navodim ga da ne bih preterano širio temu.
Bitno je da je asimptotski jednako, to jest za [inlmath]n\to\infty[/inlmath]:
[dispmath]n!\sim n^n\cdot e^{-n}\cdot\sqrt{2\pi n}[/dispmath]
Ovaj simbol [inlmath]\sim[/inlmath] (u Latexu je zapis \sim) čita se kao "tilda" i označava asimptotsku jednakost, kada je [inlmath]n[/inlmath] vrlo veliko.
E sada je, mislim, jasno i primenom ove formule šta se dobija.
p.s. Hvala Danielu za dopunu Tutorijala o karakterističnim limesima.
p.p.s. @Trogao,
jedina moja primedba na tvoj sasvim korektan dokaz matematičkom indukcijom odnosi se na ovo:
[dispmath]n\ge6[/dispmath]
Tako bi trebalo da stoji.