Naci neodredjeni integral
[dispmath]\int\left(2x^2+1\right)e^{x^2}\mathrm dx[/dispmath]
Resenje:
[dispmath]I=\int\left(2x^2+1\right)e^{x^2}\mathrm dx=\int2x^2e^{x^2}\mathrm dx+\int e^{x^2}\mathrm dx=I_1+I_2[/dispmath]
Uz pomoc parcijalne integracije [inlmath]\int f\mathrm dg=fg-\int g\mathrm df[/inlmath] racunamo [inlmath]I_2[/inlmath].
Naime, ako je [inlmath]f=e^{x^2},\;\mathrm dg=\mathrm dx\;\Rightarrow\;\mathrm df=e^{x^2}2x\mathrm dx,\;g=x[/inlmath], pa odavde imamo
[dispmath]I_2=e^{x^2}x-I_1[/dispmath]
tj. [inlmath]I=I_1+I_2=I_1+e^{x^2}x-I_1=\mathbf{e^{x^2}x+C},\;C\in\mathbb{R}[/inlmath]

Najelegantnije moguće rešenje, potvrđujem tačnost kako rezultata tako i postupka

Da se doreknem:
Nisam prevideo da fali dvojka kod [inlmath]\mathrm df[/inlmath].
Ako želiš, ispraviću to u tvom postu.
Sve ovo zato što mi se način rađenja zadatka jako svideo, a dobijen je i tačan rezultat.

Hvala.

apples je napisao:[inlmath]f=e^{x^2},\;\mathrm dg=\mathrm dx\;\Rightarrow\;\mathrm df=e^{x^2}2x\mathrm dx,\;g=x[/inlmath]

[dispmath]\mathrm df=e^{x^2}{\color{Red}2}x\mathrm dx[/dispmath]
Lose sam napisao, nisam izbacio [inlmath]2[/inlmath] ispred... my bad

Ovaj zadatak sam resavao mladjem kolegi danas (Vise mi je vremena oduzelo pisanje u LaTeXu).
Naci neodredjeni integral
[dispmath]I=\int\frac{\ln\left(1+x^2\right)}{(1+x)^2}\mathrm dx[/dispmath]
Resenje:
[dispmath]I=\int\frac{\ln\left(1+x^2\right)}{(1+x)^2}\mathrm dx=\int\frac{\ln\left(s^2-2s+2\right)}{s^2}\mathrm ds\;\begin{pmatrix}
s=x+1\\
\mathrm ds=\mathrm dx
\end{pmatrix}[/dispmath]
e sada, parcijalnom integracijom [inlmath]\int f\mathrm dg=fg-\int g\mathrm df[/inlmath] za
[dispmath]f=\ln\left(s^2-2s+2\right)\;\Rightarrow\;\mathbf{df}=\frac{\mathrm d\left(s^2-2s+2\right)}{s^2-2s+2}=\mathbf{\frac{2(s-1)}{s^2-2s+2}}[/dispmath][dispmath]\mathrm dg=\frac{1}{s^2}\mathrm ds\;\Rightarrow\;\int\mathrm dg=\int\frac{1}{s^2}\mathrm ds\;\Rightarrow\;\mathbf{g=-\frac{1}{s}}[/dispmath]
Dobijamo
[dispmath]I=-\frac{\ln\left(s^2-2s+2\right)}{s}+2\int\frac{s-1}{s\left(s^2-2s+2\right)}\mathrm ds=-\frac{\ln\left(s^2-2s+2\right)}{s}+2I_1[/dispmath]
Dalje, rastavljanjem na parcijalne razlomke dobijamo
[dispmath]I_1=\int\frac{s-1}{s\left(s^2-2s+2\right)}\mathrm ds=\int\left(\frac{s}{2\left(s^2-2s+2\right)}-\frac{1}{2s}\right)\mathrm ds[/dispmath]
[dispmath]I_1=\frac{1}{2}\left(\int\frac{s}{s^2-2s+2}\mathrm ds-\int\frac{1}{s}\mathrm ds\right)[/dispmath]
[dispmath]I_1=\frac{1}{2}\Bigg(\int\left(\frac{2s-2}{2\left(s^2-2s+2\right)}+\frac{1}{s^2-2s+2}\mathrm ds\right)-\int\frac{1}{s}\mathrm ds\Bigg)=\\
=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\int\frac{2s-2}{s^2-2s+2}\mathrm ds+\int\frac{1}{s^2-2s+2}\mathrm ds-\int\frac{1}{s}\mathrm ds\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}I_2+I_3-I_4\right)[/dispmath]
[dispmath]I_4=\ln\left|s\right|+C[/dispmath]
[dispmath]I_3=\int\frac{1}{s^2-2s+2}\mathrm ds=\int\frac{1}{(s-1)^2+1}\mathrm ds=\\
=\int\frac{1}{t^2+1}\mathrm dt\;\begin{pmatrix}
t=s-1\\
\mathrm dt=\mathrm ds
\end{pmatrix}=\mathrm{arctg}(t)+C=\mathrm{arctg}(s-1)+C[/dispmath]
[dispmath]I_2=\int\frac{2s-2}{s^2-2s+2}\mathrm ds=\int\frac{1}{u}\mathrm du\;\begin{pmatrix}
u=s^2-2s+2\\
\mathrm du=2s-2
\end{pmatrix}=\ln\left|u\right|+C=\ln\left|s^2-2s+2\right|+C[/dispmath]
Iz prethodnog je
[dispmath]I_1=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}I_2+I_3-I_4\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\ln\left|s^2-2s+2\right|+\mathrm{arctg}(s-1)-\ln\left|s\right|\right)+C[/dispmath]
Iz prethodnog imamo,
[dispmath]I=-\frac{\ln\left(s^2-2s+2\right)}{s}+2I_1=-\frac{\ln\left(s^2-2s+2\right)}{s}+\frac{1}{2}\ln\left|s^2-2s+2\right|+\mathrm{arctg}(s-1)-\ln\left|s\right|+C=\\
=-\frac{\ln\left(x^2+1\right)}{(x+1)}+\frac{1}{2}\ln\left|x^2+1\right|+\mathrm{arctg}(x)-\ln\left|x+1\right|+C[/dispmath]
Konacno,
[dispmath]I=\frac{(x-1)\ln\left(x^2+1\right)-2(x+1)\ln(x+1)}{2(x+1)}+\mathrm{arctg}\:x+C[/dispmath]

apples je napisao:[dispmath]f=\ln\left(s^2-2s+2\right)\;\Rightarrow\;\mathbf{df}=\frac{\mathrm d\left(s^2-2s+2\right)}{s^2-2s+2}=\mathbf{\frac{2(s-1)}{s^2-2s+2}}[/dispmath]

Ovde nedostaje [inlmath]\mathrm ds[/inlmath] sa desne strane.
Postupak je ok.
Rezultat zadatka je tačan.