U razvoju [inlmath]\left(\sqrt2+\sqrt[3]3\right)^n[/inlmath] zbir binomnih koeficijenata trecega clana od pocetka i trecega clana od kraja mu jednak je [inlmath]90[/inlmath]. Zbir svih clanova toga razvoja koji su celi brojevi jednak je?
[dispmath]n^2-n-90=0\\
n=10[/dispmath][dispmath]\left(\sqrt2+\sqrt[3]3\right)^{10}[/dispmath][dispmath]2^{5-\frac{k}{2}}\cdot3^{\frac{k}{3}}[/dispmath]
i resenje je [inlmath]7592[/inlmath].
Sad mi i nije najjasnije kako da nadjem zbir clanova koji su celi brojevi
Izvinjavam se zbog skromnog postupka, problemi sa Latex-om

U osnovi, ovo ti je dobro.
Zajednički za brojeve [inlmath]2[/inlmath] i [inlmath]3[/inlmath] je broj [inlmath]6[/inlmath].
Uzmi u obzir da važi:
[dispmath]{10\choose6}={10\choose4}[/dispmath]
Ovo oko tehnike tj. izračunavanja. Dakle šesti član je ceo broj. Uz dopunu da je to realno sedmi član binomnog razvoja jer krećemo od nultog. Da pojednostavim posle ovog komplikovanja, čemu sam inače sklon, ovo je za [inlmath]n=6[/inlmath].
Ali ne samo on, već i jedanaesti, evo proveri.
To znači da treba sabrati sedmi i jedanaesti član ovog razvoja. Tj. za [inlmath]n=6[/inlmath] i [inlmath]n=10[/inlmath]. Dakle za [inlmath]n=6[/inlmath] ali i za [inlmath]n=10[/inlmath]. Jer se isto dobije ceo broj i za [inlmath]n=10[/inlmath].
Ja sam dobio:
[dispmath]7560+32=7592[/dispmath]

Jasno mi je da uzimamo za [inlmath]k=6[/inlmath] i onda [inlmath]10\choose6[/inlmath] je [inlmath]7560[/inlmath].
dalje ne mogu da ispratim..

Zameni još i kako kažeš za [inlmath]k=10[/inlmath]. Ja sam označio sa [inlmath]n[/inlmath] ali ok je i [inlmath]k[/inlmath].
Dakle:
[dispmath]\left(\sqrt2+\sqrt[3]3\right)^{10}=\sum_{k=0}^{10}{10\choose k}\left(\sqrt2\right)^k\cdot\left(\sqrt[3]3\right)^{10-k}[/dispmath]
Dalje je za [inlmath]k=10[/inlmath]:
[dispmath]{10\choose10}\left(\sqrt2\right)^{10}\cdot\left(\sqrt[3]3\right)^0=32[/dispmath]
Ja mislim da je ovo stvarno sada jasno, no kaži ako je nešto ostalo nejasno.

Mislim da ovde može doći do jedne zabune, koju bih želeo da otklonim.

Ovaj stepen binoma možemo razviti na dva načina.

Prvi (uobičajeniji) način bio bi
[dispmath]\left(\sqrt2+\sqrt[3]3\right)^{10}=\left(2^{1/2}+3^{1/3}\right)^{10}=\sum_{k=0}^{10}{10\choose k}\left(2^{1/2}\right)^{10-k}\left(3^{1/3}\right)^k=\sum_{k=0}^{10}{10\choose k}2^{\frac{10-k}{2}}3^{\frac{k}{3}}[/dispmath]
i kod ovakvog razvoja celobrojni članovi će biti prvi ([inlmath]k=0[/inlmath]) i sedmi ([inlmath]k=6[/inlmath]).

Drugi način bio bi
[dispmath]\left(\sqrt2+\sqrt[3]3\right)^{10}=\left(2^{1/2}+3^{1/3}\right)^{10}=\sum_{k=0}^{10}{10\choose k}\left(2^{1/2}\right)^k\left(3^{1/3}\right)^{10-k}=\sum_{k=0}^{10}{10\choose k}2^{\frac{k}{2}}3^{\frac{10-k}{3}}[/dispmath]
(dakle, obratiti pažnju na međusobnu zamenu eksponenata [inlmath]10-k[/inlmath] i [inlmath]k[/inlmath] u odnosu na prethodni način razvoja, pri čemu vrednost sume ostaje ista, jer u toj sumi [inlmath]k[/inlmath] ionako ide od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]10[/inlmath])
i kod ovakvog razvoja celobrojni članovi će biti peti ([inlmath]k=4[/inlmath]) i jedanaesti ([inlmath]k=10[/inlmath]).