Evo, otvorio sam novu temu (možda se moglo postati i u neku staru, pogotovo ovaj drugi dio zadatka, pa ako sam pogriješio može prebacivanje )

Dakle, evo sljedećeg zadatka.
Primjenom L'H pravila dobio sam da je [inlmath]\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{4}}=\frac{0}{-1}=0[/inlmath]. Kada to uvrstimo na [inlmath]e[/inlmath], [inlmath]e^0=1[/inlmath]. Dakle, rješenje mi je ispalo [inlmath]1[/inlmath].

Kako riješiti zadatak bez L'H pravila? Trenutno i nemam baš neku ideju
[dispmath]\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\left(\mathrm{tg}\:x\right)^{\frac{1}{\frac{\pi}{4}-x}}[/dispmath]

eseper je napisao:Evo, otvorio sam novu temu (možda se moglo postati i u neku staru, pogotovo ovaj drugi dio zadatka, pa ako sam pogriješio može prebacivanje )

Nema potrebe, budući da nije previše sličan dosad rađenim zadacima, sasvim mu je logično mesto u posebnoj temi.

eseper je napisao:Dakle, evo sljedećeg zadatka.
Primjenom L'H pravila dobio sam da je [inlmath]\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{4}}=\frac{0}{-1}=0[/inlmath]. Kada to uvrstimo na [inlmath]e[/inlmath], [inlmath]e^0=1[/inlmath]. Dakle, rješenje mi je ispalo [inlmath]1[/inlmath].

Treba da se dobije [inlmath]e^{-2}[/inlmath]. Ja sam to ovako radio:
[dispmath]\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\left(\mathrm{tg}\:x\right)^\frac{1}{\frac{\pi}{4}-x}=\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\left[\left(1+\mathrm{tg}\:x-1\right)^\frac{1}{\mathrm{tg}\:x-1}\right]^\frac{\mathrm{tg}\:x-1}{\frac{\pi}{4}-x}=e^{\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{4}}\frac{\mathrm{tg}\:x-1}{\frac{\pi}{4}-x}}[/dispmath]
Primenom l'Hospital-a:
[dispmath]\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{4}}\frac{\mathrm{tg}\:x-1}{\frac{\pi}{4}-x}=\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{4}}\frac{\left(\mathrm{tg}\:x-1\right)'}{\left(\frac{\pi}{4}-x\right)'}=\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{4}}\frac{\frac{1}{\cos^2 x}}{-1}=-\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{4}}\frac{1}{\cos^2 x}=-2[/dispmath]
Pa kad to uvrstimo u početni izraz dobije se
[dispmath]\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\left(\mathrm{tg}\:x\right)^\frac{1}{\frac{\pi}{4}-x}=e^{-2}[/dispmath]

eseper je napisao:Kako riješiti zadatak bez L'H pravila? Trenutno i nemam baš neku ideju

Ja imam ovakvu ideju: u izrazu [inlmath]\mathrm{tg}\:x-1[/inlmath] napišeš [inlmath]\mathrm{tg}\:x[/inlmath] kao [inlmath]\frac{\sin x}{\cos x}[/inlmath], pa ćeš u nekom od narednih koraka dobiti u brojiocu izraz [inlmath]\sin x-\cos x[/inlmath] u kojem zatim [inlmath]\cos x[/inlmath] napišeš kao [inlmath]\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)[/inlmath] kako bi mogao da primeniš transformaciju trigonometrijske razlike u proizvod... a dalje se vrlo lako vidi kako doći do rešenja...

Nisam zasad hteo da pišem detaljan postupak, da ti ne bih ubijao znatiželju da pokušaš sam, koristeći ove smernice...

A sad se setih i još jednostavnijeg načina bez l'Hospital-a: smena [inlmath]t=\frac{\pi}{4}-x[/inlmath], a zatim primena adicione formule za tangens...

Samo da napomenem, i ovaj i prethodni način se primenjuju tek pošto smo prethodno traženi limes sveli na oblik [inlmath]e^{\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{4}}\cdots}[/inlmath]

U ispravku s L'H sam i ja dobio [inlmath]-2[/inlmath], tj. [inlmath]e^{-2}[/inlmath]. Stvar je u tome što sam išao preko [inlmath]\ln[/inlmath]-a. Tada je puno duži postupak, a samim tim i mogućnost da se potkrade greška, što mi se i bilo dogodilo.

Drugi dio bih htio riješiti prvo na način u pretprošlom postu, a onda s [inlmath]t[/inlmath], tako da se istreniram Sada mi treba malo uputa: kad sam umjesto [inlmath]\mathrm{tg}\:x[/inlmath] uvrstio [inlmath]\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^\frac{1}{\frac{\pi}{4}-x}[/inlmath], koji je sljedeći korak. Može li se i tu možda nekako uvesti [inlmath]\ln[/inlmath] pa da mi eksponent ide prije [inlmath]\ln[/inlmath]-a?

Da, zaboravio sam da naglasim kad sam ti predložio taj prvi način, ali sam to posle napomenuo posle izlaganja drugog načina, pa evo još jednom, da onaj tangens koji je u osnovi ne razlažeš na sinus i kosinus, već sve radiš tako da dobiješ oblik [inlmath]e^{\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{4}}\cdots}[/inlmath] i tek tada unutar tog limesa zamenjuješ tangens količnikom sinusa i kosinusa...

I kako dalje nakon toga?

Pretpostavljam da te prvo interesuje onaj prvi način koji sam predložio, tj. bez smene?
Dakle, pošto smo prvo uradili
[dispmath]\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\left(\mathrm{tg}\:x\right)^\frac{1}{\frac{\pi}{4}-x}=\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\left[\left(1+\mathrm{tg}\:x-1\right)^\frac{1}{\mathrm{tg}\:x-1}\right]^\frac{\mathrm{tg}\:x-1}{\frac{\pi}{4}-x}=e^{\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{4}}\frac{\mathrm{tg}\:x-1}{\frac{\pi}{4}-x}}[/dispmath]
sada treba naći taj limes u eksponentu:
[dispmath]\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\frac{\mathrm{tg}\:x-1}{\frac{\pi}{4}-x}=\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\frac{\frac{\sin x}{\cos x}-1}{\frac{\pi}{4}-x}=\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\frac{\frac{\sin x-\cos x}{\cos x}}{\frac{\pi}{4}-x}=\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\frac{1}{\cos x}\cdot\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\frac{\sin x-\cos x}{\frac{\pi}{4}-x}=[/dispmath][dispmath]=\sqrt 2\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\frac{\sin x-\cos x}{\frac{\pi}{4}-x}=\sqrt 2\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\frac{\sin x-\sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right)}{\frac{\pi}{4}-x}[/dispmath]
Sada primenimo transformaciju trigonometrijske razlike u proizvod:
[dispmath]\sin x-\sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right)=2\cos\frac{\pi}{4}\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt 2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)[/dispmath]
pa će izraz postati
[dispmath]\sqrt 2\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\frac{\sqrt 2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)}{\frac{\pi}{4}-x}=-2\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\frac{\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)}{\frac{\pi}{4}-x}=-2\cdot 1=-2[/dispmath]
Pa kad to uvrstimo u početni izraz dobije se
[dispmath]\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\left(\mathrm{tg}\:x\right)^\frac{1}{\frac{\pi}{4}-x}=e^{-2}[/dispmath]

A što ako onaj moj izraz glasi [inlmath]e^{\ln (\mathrm{tg}\:x)^{\frac{1}{\frac{\pi}{4}-x}}}[/inlmath] ? (jer, rekoh, rješavao sam hospitalovo pomoću [inlmath]\ln[/inlmath]-a, ne na ovakav način)

Imam da [inlmath]\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{4}}\frac{\ln\mathrm{tg}\:x}{\frac{\pi}{4}-x}[/inlmath]. Kako od ovoga dobiti rješenje bez upotrebe L'H i može li se uopće?

Pa, kad bih imao već zadat izraz sa [inlmath]\ln[/inlmath]-om, ja bih onda [inlmath]e[/inlmath] digao na taj izraz, kako bih se oslobodio [inlmath]\ln[/inlmath]-a, ne bih rekao da je drugačije uopšte i moguće... A u ovom slučaju, to bi me dovelo do onog prvobitnog izraza [inlmath]\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{4}}\left(\mathrm{tg}\:x\right)^\frac{1}{\frac{\pi}{4}-x}[/inlmath] pa bih onda rešavao dalje...

Aha. Hvala.