Kolicnik – kvadrat prirodnog broja (IMO 1988)

od **Gekko** » Nedelja, 02. Oktobar 2016, 17:43

Pozdrav, evo jednog zadatka:
Neka su [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] prirodni brojevi , takvi da [inlmath]a\cdot b+1[/inlmath] deli [inlmath]a^2+b^2[/inlmath]. Dokazati da je kolicnik [inlmath]\displaystyle\frac{a^2+b^2}{a\cdot b+1}[/inlmath] uvek kvadrat prirodnog broja. Ja sam ovo pokusao da resim ubacivanjem brojeva i uocavanjem pravilnosti , medjutim nije islo bas najbolje , dok u zvanicnom resenju su koristili nesto sa cime ja nisam upoznat , pa me zanima neki ,,normalniji,, nacin. Hvala unapred

od **Gekko** » Nedelja, 02. Oktobar 2016, 21:17

od **pentagram142857** » Nedelja, 02. Oktobar 2016, 21:25

Ostatak pri deljenju [inlmath]a^2+b^2[/inlmath] sa [inlmath]ab+1[/inlmath] je [inlmath]-ab\left(a^2+b^2\right)[/inlmath]. U ovom slucaju, taj ostatak mora da bude jednak nuli, sto je moguce samo ako je [inlmath]a[/inlmath] ili [inlmath]b[/inlmath] jednako nuli, pa ce brojilac kolicnika koji si spomenuo da se svede na [inlmath]a^2[/inlmath] ili [inlmath]b^2[/inlmath], a imenilac na [inlmath]1[/inlmath].

od **Gekko** » Nedelja, 02. Oktobar 2016, 21:35

Svaka cast, nikad mi ovo ne bi palo napamet, iako je naizgled trivijalno. Ovo je zadatak sa IMO-a inace , i to takav zadatak da ga je resilo dvoje ljudi od svih mogucih ucesnika, a zvanicno resenje je koristilo uvodjenje neke pomocne funkcije koje su posmatrali u tri dimenzije i tako dalje ...nemam blage veze sta ce im to, kada se naslucuje da moze i ,,aritmeticki,, da se resi.Jos jednom svaka cast i hvala

od **pentagram142857** » Nedelja, 02. Oktobar 2016, 21:40

Da ne znas mozda koje godine i na kom tipu takmicenja (opstinsko, republicko...) je bio ovaj zadatak? Sve te imo-ove zadatke mozes ovde da nadjes http://srb.imomath.com/index.php?options=29&lmm=1

od **Gekko** » Nedelja, 02. Oktobar 2016, 21:46

Znam za taj sajt, na njemu se i ja spremam za takmicenja , no mislim da ga tu nema.Ovo je bas zadatak sa internacionalne matematicke olimpijade koja se odrzala 1988. godine u Australiji.Ako te zanima i ako znas engleski , pogledaj https://www.youtube.com/watch?v=Y30VF3cSIYQ.

od **Gekko** » Nedelja, 02. Oktobar 2016, 21:49

Ja sam ga nasao u svesci pripremnog materijala koji sam pozajmio od kolege, a u nastavku snimka koji sam ti okacio , https://www.youtube.com/watch?v=L0Vj_7Y2-xY su koristili neko slicno resenje kao i zvanicno, koje meni ni najmanje nije jasno.

od **Onomatopeja** » Nedelja, 02. Oktobar 2016, 22:14

pentagram142857 je napisao:Ostatak pri deljenju [inlmath]a^2+b^2[/inlmath] sa [inlmath]ab+1[/inlmath] je [inlmath]-ab\left(a^2+b^2\right)[/inlmath].

Na osnovu cega ovo tvrdis? Zapravo, tacno je da [inlmath]-ab(a^2+b^2)[/inlmath] mora biti deljivo sa [inlmath]ab+1[/inlmath], no ne mora i samo biti jednako nuli. [a s obzirom na samu postavku, ovo poslednje nam ne donosi nista novo]

Stavise, primer [inlmath]a=b=1[/inlmath] pokazuje da tvoje prethodno rezonovanje ne moze biti dobro.

od **Gekko** » Nedelja, 02. Oktobar 2016, 22:19

Zadatak kaze da navedeni kolicnik mora da bude ceo broj, otuda uslov da ostatak mora biti jednak nuli,no zanimljivo je da je [inlmath]a=b=1[/inlmath] jedini jedinstven slucaj, a zbog cega , ne znam.

od **Daniel** » Nedelja, 02. Oktobar 2016, 22:28

Ostatak mora biti jednak nuli, međutim, ukoliko je [inlmath]-ab\left(a^2+b^2\right)[/inlmath] deljivo sa [inlmath]ab+1[/inlmath], onda [inlmath]-ab\left(a^2+b^2\right)[/inlmath] nije ostatak.

Gekko je napisao:

Molio bih, bez požurivanja :nene:

(tačka 16. Pravilnika).

Kolicnik – kvadrat prirodnog broja (IMO 1988)

Kolicnik – kvadrat prirodnog broja (IMO 1988)

Sharuj ovu temu na:

Re: Kolicnik – kvadrat prirodnog broja (IMO 1988)

Re: Kolicnik – kvadrat prirodnog broja (IMO 1988)

Re: Kolicnik – kvadrat prirodnog broja (IMO 1988)

Re: Kolicnik – kvadrat prirodnog broja (IMO 1988)

Re: Kolicnik – kvadrat prirodnog broja (IMO 1988)

Re: Kolicnik – kvadrat prirodnog broja (IMO 1988)

Re: Kolicnik – kvadrat prirodnog broja (IMO 1988)

Re: Kolicnik – kvadrat prirodnog broja (IMO 1988)

Re: Kolicnik – kvadrat prirodnog broja (IMO 1988)

Ko je OnLine