Probni prijemni ispit MATF – 10. jun 2017.
9. zadatak

Zadatak ide ovako: Rešenja jednačine [inlmath]\left|z\right|=z^2+1[/inlmath] u skupu kompleksnih brojeva su:
Rešenje je: [inlmath]\pm i\frac{1-\sqrt5}{2}[/inlmath]
Ja sam krenuo zadatak i došao sam do: [inlmath]\sqrt{x^2+y^2}=x^2-2xyi-y^2+1[/inlmath], ali ne znam šta da radim manje

Na levoj strani imaš realan broj, a na desnoj kompleksni. Da bi jednakost bila tačna, koliko mora da iznosi proizvod [inlmath]xy[/inlmath] na desnoj strani?

Treba da iznosi [inlmath]0[/inlmath], ali ne vidim kako nas to vodi do rešenja

Tako je. Drugim rečima, to znači da ili [inlmath]x[/inlmath] ili [inlmath]y[/inlmath] mora da bude [inlmath]0[/inlmath]. Sada u svoju jednačinu uvrsti [inlmath]x=0[/inlmath], a onda [inlmath]y=0[/inlmath] i vidi šta ćeš dobiti kao rešenje vodeći računa da su i [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] realni brojevi.

Inače, ovde umesto crvenog minusa treba da stoji plus:

miljan1403 je napisao:[inlmath]\sqrt{x^2+y^2}=x^2{\color{red}-}2xyi-y^2+1[/inlmath]

(mada to u ovom slučaju neće uticati na rezultat)

Kada uvrstim [inlmath]y=0[/inlmath] dobijam:
[dispmath]\sqrt{x^2}=x^2+1[/dispmath][dispmath]x=x^2+1[/dispmath][dispmath]x^2-x+1=0[/dispmath][dispmath]x_{1/2}=\frac{1}{2}\pm i\frac{\sqrt3}{2}[/dispmath] A kada uvrstim [inlmath]x=0[/inlmath] dobijam:
[dispmath]\sqrt{y^2}=-y^2+1[/dispmath][dispmath]-y^2-y+1=0[/dispmath][dispmath]y_{1/2}=\frac{1+\sqrt5}{-2}[/dispmath] Oni kažu da je rešenje [inlmath]\pm i\frac{1-\sqrt5}{2}[/inlmath], ali kako su odabrali to?

Daniel je napisao:Inače, ovde umesto crvenog minusa treba da stoji plus:

miljan1403 je napisao:[inlmath]\sqrt{x^2+y^2}=x^2{\color{red}-}2xyi-y^2+1[/inlmath]

Ne razumem zašto bi ovde bio minus.

miljan1403 je napisao:[dispmath]\sqrt{x^2}=x^2+1[/dispmath][dispmath]x=x^2+1[/dispmath]

miljan1403 je napisao:[dispmath]\sqrt{y^2}=-y^2+1[/dispmath][dispmath]-y^2-y+1=0[/dispmath]

Vodi računa o tome da je [inlmath]\sqrt{a^2}\,\overset{\text{def}}{=\!=}\,|a|[/inlmath].

miljan1403 je napisao:[dispmath]x^2-x+1=0[/dispmath][dispmath]x_{1/2}=\frac{1}{2}\pm i\frac{\sqrt3}{2}[/dispmath]

[inlmath]x[/inlmath] mora biti realno, prema tome, ovo rešenje otpada. To se moglo videti i na osnovu diskriminante jednačine [inlmath]x^2-x+1=0[/inlmath], koja je manja od nule.
Naravno, proveri sad sve to i kada [inlmath]\sqrt{x^2}[/inlmath] ispravno zameniš sa [inlmath]|x|[/inlmath].

miljan1403 je napisao:A kada uvrstim [inlmath]x=0[/inlmath] dobijam:
[dispmath]\sqrt{y^2}=-y^2+1[/dispmath][dispmath]-y^2-y+1=0[/dispmath][dispmath]y_{1/2}=\frac{1+\sqrt5}{-2}[/dispmath] Oni kažu da je rešenje [inlmath]\pm i\frac{1-\sqrt5}{2}[/inlmath], ali kako su odabrali to?

Trebalo je prilikom rešavanja jednačine [inlmath]-y^2-y+1=0[/inlmath] da napišeš [inlmath]\pm[/inlmath] ispred korena, tj. [inlmath]y_{1/2}=\frac{1{\color{red}\pm}\sqrt5}{-2}[/inlmath].
Međutim, u prvom koraku, [inlmath]\sqrt{y^2}=-y^2+1[/inlmath], trebalo je postaviti uslov: pošto je leva strana nenegativna, mora biti nenegativna i desna strana, tj. [inlmath]y^2\le1[/inlmath], tj. [inlmath]y\in[-1,1][/inlmath]. Zbog toga otpada rešenje [inlmath]y_{1/2}=\frac{1+\sqrt5}{-2}[/inlmath] i ostaje samo [inlmath]y_{1/2}=\frac{1-\sqrt5}{-2}[/inlmath].
A onaj [inlmath]\pm[/inlmath] ispred celog razlomka dobićeš i ti kad umesto [inlmath]\sqrt{y^2}[/inlmath] napišeš kao [inlmath]|y|[/inlmath].

miljan1403 je napisao:Ne razumem zašto bi ovde bio minus.

Upravo i ne treba da bude minus kako si ti napisao, već treba plus.
To je zbog toga što formula za kvadrat zbira glasi [inlmath](a+b)^2=a^2{\color{red}+}2ab+b^2[/inlmath]. Ovde ti je [inlmath]a=x[/inlmath] i [inlmath]b=iy[/inlmath].

Daniel je napisao:[inlmath]x[/inlmath] mora biti realno, prema tome, ovo rešenje otpada. To se moglo videti i na osnovu diskriminante jednačine [inlmath]x^2-x+1=0[/inlmath], koja je manja od nule.
Naravno, proveri sad sve to i kada [inlmath]\sqrt{x^2}[/inlmath] ispravno zameniš sa [inlmath]|x|[/inlmath].

Da li onda dobijam: [inlmath]x^2\pm x+1=0[/inlmath], pa onda računam za oba slučaja?

Daniel je napisao:A onaj [inlmath]\pm[/inlmath] ispred celog razlomka dobićeš i ti kad umesto [inlmath]\sqrt{y^2}[/inlmath] napišeš kao [inlmath]|y|[/inlmath].

Znači ide ovako, ako se ne varam:
[dispmath]\sqrt{y^2}=-y^2+1,\;-y^2+1\geq0\;\Longrightarrow\;y\in\left[-1,1\right][/dispmath][dispmath]\left|y\right|=-y^2+1[/dispmath][dispmath]-y^2\pm y+1=0[/dispmath] Ne znam kako da posmatram [inlmath]\left|y\right|[/inlmath] u zadatku, generalno kada imamo apsolutnu piše se uslov, pa se onda to deli na dva slučajeva, da li je tako i ovde? Nažalost moram priznati da je moje poznavanje matematike veoma školski, što planiram da promenim i da radim na tome.

Daniel je napisao:Upravo i ne treba da bude minus kako si ti napisao, već treba plus.

Da u pravu si, ja sam se nešto zbunio

Može li neko da mi objasni šta znači to kada tražimo "u skupu kompleksnih brojeva"?

miljan1403 je napisao:Da li onda dobijam: [inlmath]x^2\pm x+1=0[/inlmath], pa onda računam za oba slučaja?

Ako u jednačini [inlmath]\sqrt{x^2}=x^2+1[/inlmath] zameniš [inlmath]\sqrt{x^2}[/inlmath] sa [inlmath]|x|[/inlmath], dobijaš [inlmath]|x|=x^2+1[/inlmath]. Da bi se oslobodio apsolutne vrednosti, moraš postaviti uslov nenegativnosti desne strane (jer je i leva strana nenegativna), pa tek nakon postavljanja tog uslova (mada je ovde odmah očigledno da desna strana ne može biti negativna), smeš pisati [inlmath]x=\pm\left(x^2+1\right)[/inlmath], a odatle [inlmath]x^2\pm x+1=0[/inlmath].

miljan1403 je napisao:Znači ide ovako, ako se ne varam:
[dispmath]\sqrt{y^2}=-y^2+1,\;-y^2+1\geq0\;\Longrightarrow\;y\in\left[-1,1\right][/dispmath][dispmath]\left|y\right|=-y^2+1[/dispmath][dispmath]-y^2\pm y+1=0[/dispmath]

Ista priča kao i malopre – pošto si ovde postavio uslov [inlmath]-y^2+1\ge0[/inlmath], dozvoljeno je osloboditi se apsolutne vrednosti tako da jednačina [inlmath]|y|=-y^2+1[/inlmath] postaje [inlmath]y=\pm\left(-y^2+1\right)[/inlmath], a odatle, kao što si i napisao, [inlmath]-y^2\pm y+1=0[/inlmath].

miljan1403 je napisao:Ne znam kako da posmatram [inlmath]\left|y\right|[/inlmath] u zadatku, generalno kada imamo apsolutnu piše se uslov, pa se onda to deli na dva slučajeva, da li je tako i ovde?

Jeste, možeš rastaviti na dva slučaja, kada je [inlmath]y\ge0[/inlmath] i kada je [inlmath]y<0[/inlmath] i rešavati jednačinu za svaki od ta dva slučaja.
Drugi način bi bio, nakon što si već postavio uslov da su obe strane jednačine [inlmath]|y|=-y^2+1[/inlmath] pozitivne, da onda obe strane kvadriraš, jer više ne moraš voditi računa o njihovom znaku. Dobio bi bikvadratnu jednačinu, tj. kvadratnu jednačinu po [inlmath]y^2[/inlmath]. Mada, na taj način bi za [inlmath]y^2[/inlmath] dobio izraz u kojem figuriše kvadratni koren, pa da bi izračunao sâmo [inlmath]y[/inlmath] morao bi da koristiš formulu za ugneždene korene... Ja bih se ipak opredelio za prvi način (rastavljanje na dva slučaja).

miljan1403 je napisao:Može li neko da mi objasni šta znači to kada tražimo "u skupu kompleksnih brojeva"?

Znači da rešenja koja dobijemo smeju biti kompleksna. Da je pisalo da se traže rešenja u skupu realnih brojeva, tada bismo odbacili sva dobijena kompleksna rešenja i ostavili bismo samo realna.

Daniel je napisao:Znači da rešenja koja dobijemo smeju biti kompleksna.

To sam i mislio, ali u kvadratnoj jednačini [inlmath]-y^2\pm y+1=0[/inlmath] dobijamo da su rešenja [inlmath]\pm\frac{1-\sqrt5}{2}[/inlmath], to su realna rešenja. Ali oni u rešenju dodaju [inlmath]i[/inlmath], da li je to zato što [inlmath]y[/inlmath] stoji uz [inlmath]i[/inlmath]?

Daniel je napisao:Jeste, možeš rastaviti na dva slučaja, kada je [inlmath]y\ge0[/inlmath] i kada je [inlmath]y<0[/inlmath] i rešavati jednačinu za svaki od ta dva slučaja.

Uspeo sam da shvatim