Imaš nekoliko grešaka, a skoro sve se odnose na orijentaciju znaka nejednakosti. Ajd da krenem od kraja...
Pretposlednji red, desna strana. Iz nejednačine[dispmath]\log_{\cos x}\sin x\le\log_{\cos x}\cos^\frac{1}{2} x[/dispmath] ne dobija se
[dispmath]\sin x\le\sqrt{\cos x}[/dispmath] Pošto je ovde osnova logaritma između nule i jedinice, logaritam će biti opadajuća funkcija (pogledaj
grafik logaritamske funkcije), pa će biti (obrati pažnju na znak nejednakosti):
[dispmath]\sin x\ge\sqrt{\cos x}[/dispmath]
I, napomena oko notacije: [inlmath]\cos x^\frac{1}{2}[/inlmath], kako si ti napisao, bilo bi isto što i [inlmath]\cos\left(x^\frac{1}{2}\right)[/inlmath], dok se [inlmath]\left(\cos x\right)^\frac{1}{2}[/inlmath] (onako kako i treba da stoji) piše kao [inlmath]\cos^\frac{1}{2}x[/inlmath].
Pretposlednji red, leva strana. Rešavanjem kvadratne nejednačine treba da se dobije [inlmath]-1\le\log_{\cos x}\sin x\le\frac{1}{2}[/inlmath], pa, pošto je [inlmath]\log_{\cos x}\sin x\ge-1[/inlmath], tada će biti [inlmath]\log_{\cos x}\sin x\ge-\log_{\cos x}\cos x[/inlmath], dakle, drugačije okrenut znak nejednakosti od onoga kako si napisao. Međutim, pošto si ovde takođe prevideo da je za osnovu logaritma između nule i jedinice logaritam opadajuća funkcija, u sledećem koraku to postaje [inlmath]\sin x\le\frac{1}{\cos x}[/inlmath], dakle, s orijentacjiom znaka kakvu si i ti dobio. Iako si tu napravio dve greške, one su, da kažem, međusobno suprotne, pa jedna poništi drugu.
(Inače, ja izbegavam da pišem [inlmath]\cos^{-1}x[/inlmath], uvek radije pišem [inlmath]\frac{1}{\cos x}[/inlmath], budući da [inlmath]\cos^{-1}x[/inlmath] može da ima značenje i [inlmath]\arccos x[/inlmath], kao što i piše na većini kalkulatora.)
I, još jedna greška, treći red odozgo:
[dispmath]2\log_{\cos x}\sin x-\frac{1}{\log_{\cos x}\sin x}\le-1[/dispmath] Ovo ne smeš tek tako da množiš sa [inlmath]\log_{\cos x}\sin x[/inlmath], budući da se radi o nejednačini, a ne znamo kog je predznaka [inlmath]\log_{\cos x}\sin x[/inlmath]. Ako je veće od nule, pomnožimo i sve je u redu. Ali, ako je manje od nule, tada se množenjem nejednačine tim izrazom menja znak nejednakosti. Zato je potrebno da postupak razdvojimo na dva slučaja: kada je [inlmath]\log_{\cos x}\sin x>0[/inlmath] i kada je [inlmath]\log_{\cos x}\sin x<0[/inlmath].
I, naravno, potrebno je i da postaviš početne uslove, ne znam da li si to uradio: pošto se i [inlmath]\sin x[/inlmath] i [inlmath]\cos x[/inlmath] nalaze u argumentima i osnovama logaritama, potrebno je da i jedan i drugi budu strogo veći od nule i strogo manji od jedinice:
[inlmath]\left.\begin{array}{ll}
0<\sin x<1\quad\Longrightarrow\quad2k\pi<x<\pi+2k\pi\\
0<\cos x<1\quad\Longrightarrow\quad-\frac{\pi}{2}+2k\pi<x<\frac{\pi}{2}+2k\pi
\end{array}\right\}\quad\Longrightarrow\quad2k\pi<x<\frac{\pi}{2}+2k\pi[/inlmath]
U preseku sa zadatim uslovom [inlmath]0<x<\pi\quad\Longrightarrow\quad\underline{0<x<\frac{\pi}{2}}[/inlmath]
Rešavanjem nejednačine
[dispmath]2\log_{\cos x}\sin x-\frac{1}{\log_{\cos x}\sin x}\le-1[/dispmath] tako što posebno radimo za slučaj [inlmath]\log_{\cos x}\sin x>0[/inlmath], a posebno slučaj [inlmath]\log_{\cos x}\sin x<0[/inlmath], dobija se
[dispmath]\log_{\cos x}\sin x\le-1\quad\lor\quad0<\log_{\cos x}\sin x\le\frac{1}{2}[/dispmath][dispmath]\log_{\cos x}\sin x\le-\log_{\cos x}\cos x\quad\lor\quad\log_{\cos x}1<\log_{\cos x}\sin x\le\frac{1}{2}\log_{\cos x}\cos x[/dispmath][dispmath]\log_{\cos x}\sin x\le\log_{\cos x}\frac{1}{\cos x}\quad\lor\quad\log_{\cos x}1<\log_{\cos x}\sin x\le\log_{\cos x}\sqrt{\cos x}[/dispmath] Pri oslobađanju od logaritma vodimo računa o tome da je ovde osnova logaritma između nule i jedinice, pa je logaritam opadajuća funkcija i, prema tome, menja se znak:
[dispmath]\sin x\ge\frac{1}{\cos x}\quad\lor\quad\sqrt{\cos x}\le\sin x<1[/dispmath] Pošto je, prema početnim uslovima, [inlmath]\cos x>0[/inlmath], prvu nejednačinu možemo pomnožiti sa [inlmath]\cos x>0[/inlmath], ne menjajući znak nejednakosti; pošto je, takođe prema početnim uslovima, [inlmath]\sin x<1[/inlmath], možemo taj deo i izostaviti iz druge nejednačine:[dispmath]\sin x\cos x\ge1\quad\lor\quad\sqrt{\cos x}\le\sin x[/dispmath] Pošto je prema početnim uslovima i [inlmath]\sin x>0[/inlmath], obe strane druge jednačine su veće od nule, pa ih možemo kvadrirati, ne narušavajući jednakost:
[dispmath]2\sin x\cos x\ge2\quad\lor\quad\cos x\le\sin^2x[/dispmath][dispmath]\sin2x\ge2\quad\lor\quad\cos x\le1-\cos^2x[/dispmath][dispmath]\bot\quad\lor\quad\cos^2x+\cos x-1\le0[/dispmath][dispmath]\cos^2x+\cos x-1\le0[/dispmath][dispmath](\cos x)_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt5}{2}[/dispmath][dispmath]\frac{-1-\sqrt5}{2}\le\cos x\le\frac{\sqrt5-1}{2}[/dispmath] u preseku s početnim uslovom [inlmath]0<\cos x<1[/inlmath]:
[dispmath]0<\cos x\le\frac{\sqrt5-1}{2}[/dispmath] [inlmath]\left.\begin{array}{ll}
\cos x>0\quad\land\quad 0<x<\frac{\pi}{2}\quad\Longrightarrow\quad0<x<\frac{\pi}{2}\\
\cos x\le\frac{\sqrt5-1}{2}\quad\land\quad0<x<\frac{\pi}{2}\quad\Longrightarrow\quad\arccos\frac{\sqrt5-1}{2}\le x<\frac{\pi}{2}
\end{array}\right\}\quad\Longrightarrow\quad x\in\left[\arccos\frac{\sqrt5-1}{2},\frac{\pi}{2}\right)[/inlmath]
E sad, ovog oblika nema među ponuđenim odgovorima, trebalo bi da bude [inlmath][a,b)[/inlmath]... Mada je ovo rešenje koje sam dobio provereno tačno...
