blake je napisao:Uuu, to nismo radili, a prof. nam je svejedno podijelila ove zadatke za vježbat preko praznika
Vjerojatno ćemo sljedeće polugodište to učiti...

Razmišljao sam o tom zadatku, kako bi to moglo i bez primene formule za geometrijski niz...

blake je napisao:Je li rezultat [inlmath]i+i^4+i^7+i^{10}+\cdots +i^{103}\quad 1[/inlmath] ili [inlmath]-1[/inlmath] i na koji se način to dobije?

Moguće je uočiti periodičnost u ovim sabircima:
[inlmath]i=i\\
i^4=1\\
i^7=-i\\
i^{10}=-1[/inlmath]
i dalje se periodično ponavlja, za svaku narednu grupu od četiri sabirka:
[inlmath]i^{13}=i[/inlmath]
itd...
Unutar svake grupe, zbir njena četiri člana je uvek [inlmath]i+1+\left(-i\right)+\left(-1\right)[/inlmath], a to je [inlmath]0[/inlmath].
To znači, ako bismo sabirali prvih [inlmath]4n[/inlmath] članova ovog niza, gde je [inlmath]n[/inlmath] bilo koji prirodan broj, zbir bi bio nula.
Pošto u našem slučaju imamo [inlmath]35[/inlmath] sabiraka, znači da fali jedan sabirak da bi ih bilo [inlmath]36[/inlmath] tj. [inlmath]4n[/inlmath] sabiraka.
Kada bi ih bilo [inlmath]36[/inlmath], zbir bi bio nula, a pošto ih je [inlmath]35[/inlmath], to znači da od nule treba oduzeti vrednost tog sabirka koji bi bio [inlmath]36.[/inlmath] po redu.
A pošto je, unutar svake grupe od četiri sabirka, vrednost poslednjeg sabirka jednaka [inlmath]\left(-1\right)[/inlmath], znači da od nule treba oduzeti [inlmath]\left(-1\right)[/inlmath].
I na taj način dobijamo rezulutat [inlmath]1[/inlmath].

Ma slijedeće polugodište ću proučit taj zadatak

1.
Ako je [inlmath]z=\frac{\sqrt2-i}{1-i}[/inlmath], koliko iznosi [inlmath]z\cdot\overline z[/inlmath]
[dispmath]z=\frac{\sqrt 2-i}{1-i}\cdot\frac{1+i}{1+i}=\frac{\sqrt 2+\sqrt 2i-i+1}{2}=i\frac{\left(\sqrt 2-1\right)}{2}+\frac{\sqrt 2+1}{2}[/dispmath][dispmath]z\cdot\overline z=\left(\frac{\left(i\sqrt 2-i\right)}{2}+\frac{\sqrt 2+1}{2}\right)\cdot\left(\frac{\left(i\sqrt 2-i\right)}{2}-\frac{\sqrt 2+1}{2}\right)[/dispmath][dispmath]=\left(\frac{i\sqrt 2-i}{2}\right)^2-\left(\frac{\sqrt 2+1}{2}\right)^2=\frac{-2-2\sqrt 2i^2-1-\left(2+2\sqrt 2+1\right)}{4}=-\frac{6}{4}=-\frac{3}{2}[/dispmath]
Je li ovo točno, u rješenju nema predznaka 'minus'

---

2.
Odredi realne brojeve [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] iz jednakosti: [inlmath]\frac{(3-i)a+(1+2i)b}{1+i}=2+3i[/inlmath]
Rj: [inlmath](a=-1,\;b=2)[/inlmath]
U ovom sam zadatku odluta u slipu ulicu

---

3. Za koji realni broj [inlmath]x[/inlmath] će imaginarni dio kompleksnog broja [inlmath]\frac{2x+i^{2010}}{x-i}+2x-i^{2011}[/inlmath] biti jednak [inlmath]1[/inlmath]?
Prvo šta tu napravim je prebacim [inlmath]2x-i^{2011}[/inlmath] u nazivnik ovog razlomka, zatim malo sredim te racionaliziram razlomak s njegovom recipročnom vrijednošću nazivnika tj s [inlmath]x+i[/inlmath] i dobijem: [dispmath]\frac{i\left(3x^2-x-1\right)-2x+2x^3+1}{x^2+1}[/dispmath]
I onda [dispmath]\frac{3x^2-x-1}{x^2+1}=1[/dispmath]
I dobijem [dispmath]x_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt15}{4}[/dispmath]

blake je napisao:Je li ovo točno, u rješenju nema predznaka 'minus'

Pa, pošto je [inlmath]z\cdot\overline z[/inlmath] zapravo jednak kvadratu modula broja [inlmath]z[/inlmath], a kvadrat modula ne može biti negativan, definitivno ne može biti minus.
Ti si zbrljo zato što si, kad si napisao [inlmath]\overline z[/inlmath] (na kraju drugog reda), stavio minus ispred realnog dela, umesto ispred imaginarnog. A zbunilo te možda to što si za broj [inlmath]z[/inlmath] prvo napisao imaginarni deo, pa zatim realni (na kraju prvog reda). Uvek piši obrnuto – znači, prvo realni, pa imaginarni.

Ali, uopšte i ne moraš [inlmath]z\cdot\overline z[/inlmath] računati na ovaj način.
Jednostavniji način je da, kada si odredio realan i imaginaran deo broja [inlmath]z[/inlmath], sada samo nađeš kvadrat njegovog modula, tj. [inlmath]\left|z\right|^2[/inlmath], jer je to, zapravo, ono što se traži, budući da je, kako već napisah, [inlmath]\left|z\right|^2=z\cdot\overline z[/inlmath].
Znači,
[dispmath]z\cdot\overline z=\left|z\right|^2=\left(\frac{\sqrt 2+1}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt 2-1}{2}\right)^2[/dispmath]

I stvarno, nemojte se ustručavati da otvarate nove teme za različite zadatke... Jer, ako se ovako nastavi, da se gomila zadataka trpa u jednu istu temu, doći ćemo u situaciju da ćemo na forumu imati svega desetak tema a svaka će imati na desetine, pa i stotine strana...

blake je napisao:2.
Odredi realne brojeve [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] iz jednakosti: [inlmath]\frac{(3-i)a+(1+2i)b}{1+i}=2+3i[/inlmath]
Rj: [inlmath](a=-1,\;b=2)[/inlmath]
U ovom sam zadatku odluta u slipu ulicu

[dispmath]\frac{\left(3-i\right)a+\left(1+2i\right)b}{1+i}=2+3i[/dispmath][dispmath]\left(3-i\right)a+\left(1+2i\right)b=\left(1+i\right)\left(2+3i\right)[/dispmath][dispmath]3a-ia+b+i2b=2+2i+3i-3[/dispmath][dispmath]\left(3a+b+1\right)+i\left(-a+2b-5\right)=0[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad 3a+b=-1\quad\land\quad -a+2b=5[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad a=-1,\:b=2[/dispmath]

blake je napisao:

blake je napisao:3. Za koji realni broj [inlmath]x[/inlmath] će imaginarni dio kompleksnog broja [inlmath]\frac{2x+i^{2010}}{x-i}+2x-i^{2011}[/inlmath] biti jednak [inlmath]1[/inlmath]?
Prvo šta tu napravim je prebacim [inlmath]2x-i^{2011}[/inlmath] u nazivnik ovog razlomka, zatim malo sredim te racionaliziram razlomak s njegovom recipročnom vrijednošću nazivnika tj s [inlmath]x+i[/inlmath] i dobijem

Pročito sam ovu rečenicu bar desetak puta i ne kontam šta si zapravo uradio...

Ništa, evo kako bih ja...

Pre svega, [inlmath]i^{2010}=i^2=-1,\quad i^{2011}=i^3=-i[/inlmath]
[dispmath]\frac{2x+i^{2010}}{x-i}+2x-i^{2011}=\frac{2x-1}{x-i}+2x+i[/dispmath]
Pošto je imaginarni deo drugog sabirka, [inlmath]\left(2x+i\right)[/inlmath], jednak jedinici, imaginarni deo celog ovog zbira će biti jednak jedinici kada je imaginarni deo prvog sabirka, [inlmath]\frac{2x-1}{x-i}[/inlmath], jednak nuli.
[dispmath]\frac{2x-1}{x-i}=\frac{2x-1}{x-i}\cdot\frac{x+i}{x+i}=\frac{\left(2x-1\right)\left(x+i\right)}{x^2+1}=\frac{2x^2-x+i\left(2x-1\right)}{x^2+1}[/dispmath]
Znači,
[dispmath]2x-1=0[/dispmath][dispmath]x=\frac{1}{2}[/dispmath]

Je li se to može rješiti tako da se taj drugi pribrojnik/sabirnik doda u razlomak i onda sve to zajedno rješi?
Jer ja stvarno neću znat sam to prepoznat i tako odvajat ta dva pribrojnika i reć; drugi dio je jednak [inlmath]1[/inlmath], a pošto se zbrajaju prvi mora bit nula da sve bude [inlmath]1[/inlmath]

PS kad sam reka da prebacim drugi pribrojnik u nazivnik razlomka i onda sredim i racionaliziram, falija sam...prebacim ga u brojnik i onda sredim i racionaliziram...
I ne dobijem rezultat ko ti

blake je napisao:Je li se to može rješiti tako da se taj drugi pribrojnik/sabirnik doda u razlomak i onda sve to zajedno rješi?
Jer ja stvarno neću znat sam to prepoznat i tako odvajat ta dva pribrojnika i reć; drugi dio je jednak [inlmath]1[/inlmath], a pošto se zbrajaju prvi mora bit nula da sve bude [inlmath]1[/inlmath]

Može, naravno, za nijansu komplikovanije jeste, ali ako je tebi tako sigurnije, onda OK.
[dispmath]\frac{2x-1}{x-i}+2x+i=\frac{2x-1}{x-i}\cdot\frac{x+i}{x+i}+2x+i=\frac{2x^2-x+i2x-i}{x^2+1}+\frac{\left(2x+i\right)\left(x^2+1\right)}{x^2+1}=[/dispmath][dispmath]=\frac{2x^2-x+i2x-i+2x^3+ix^2+2x+i}{x^2+1}=\frac{2x^3+2x^2+x+ix^2+i2x}{x^2+1}=\frac{2x^3+2x^2+x}{x^2+1}+i\frac{x^2+2x}{x^2+1}[/dispmath][dispmath]\frac{x^2+2x}{x^2+1}=1[/dispmath][dispmath]x^2+2x=x^2+1[/dispmath][dispmath]2x=1[/dispmath][dispmath]x=\frac{1}{2}[/dispmath]

A evo i načina na koji si ti radio, tj. da se prvo svede na zajednički imenilac, a tek onda da se izvrši racionalizacija.
Naravno, dobije se isti rezultat kako kad se ide obrnutim redosledom (prvo racionalizacija pa svođenje na zajednički imenilac), pa možeš uporediti sa svojim postupkom i videti di je bio „kiks“.
[dispmath]\frac{2x+i^{2010}}{x-i}+2x-i^{2011}=\frac{2x-1}{x-i}+2x+i=\frac{2x-1+\left(2x+i\right)\left(x-i\right)}{x-i}=[/dispmath][dispmath]=\frac{2x-1+2x^2+ix-i2x+1}{x-i}=\frac{2x^2+2x-ix}{x-i}=\frac{2x^2+2x-ix}{x-i}\cdot\frac{x+i}{x+i}=[/dispmath][dispmath]=\frac{2x^3+2x^2-ix^2+i2x^2+i2x+x}{x^2+1}=\frac{2x^3+2x^2+x+ix^2+i2x}{x^2+1}=\frac{2x^3+2x^2+x}{x^2+1}+i\frac{x^2+2x}{x^2+1}[/dispmath][dispmath]\frac{x^2+2x}{x^2+1}=1[/dispmath][dispmath]x^2+2x=x^2+1[/dispmath][dispmath]2x=1[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{x=\frac{1}{2}}[/dispmath]

Ti si umesto [dispmath]\frac{x^2+2x}{x^2+1}=1[/dispmath] dobio [dispmath]\frac{3x^2-x-1}{x^2+1}=1[/dispmath]
Ali, iz te jednakosti koju si ti dobio, za [inlmath]x[/inlmath] se ne bi dobilo
[dispmath]x_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt 15}{4}[/dispmath]
kako je tebi ispalo, već
[dispmath]x_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt 17}{4}[/dispmath]
Skenuo sam ti pažnju na sve što nije valjalo, zato da bi pronašao di si grešio pa da te greške sprečiš u budućim zadacima.

Pa ti znaš i šta ja falivam

Imam još dva zadatka koja ne znam rješit (i nije nešto previše da jedna tema ima 3-5 stranice, šta)

1. Koliki je modul kompleksnog broja [inlmath]z\ne 0[/inlmath] koji zadovoljava uvjete [inlmath]|z+1|=|z+i|=1[/inlmath]

Dakle [dispmath]|x+yi+1|=|x+yi+i|=1\\
|x+yi+1|=|x+i(y+1)|=1[/dispmath]
[inlmath]|z|=\sqrt{x^2+y^2}[/inlmath]

Ja sam prvo izjednačia [inlmath]|x+yi+1|=|x+yi+i|[/inlmath] i to vjerojatno krivo jer sam dobia da je [inlmath]x=y[/inlmath]
A onda sam izjednačia [inlmath]|x+i(y+1)|=1[/inlmath] i dobia da je [inlmath]x=-3[/inlmath]
Šta je opet krivo jer je onda [inlmath]|z|=\sqrt{18}[/inlmath] a točan rezultat je [inlmath]|z|=\sqrt 2[/inlmath]


2. Izračunaj [inlmath]|z|[/inlmath] ako je [inlmath]z=\frac{-i^7\left(\sqrt 2-i\right)^5}{\left(1-i\sqrt 2\right)^8}[/inlmath]