Odrediti vrednost parametra [inlmath]a\in\mathbb{R}[/inlmath] tako da funkcija [inlmath]f:[a,+\infty)\to (-\infty,8][/inlmath], zadata sa [inlmath]f(x)=(2-x)(x+4)[/inlmath], bude bijekcija.

Za početak, napiši [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath] u nefaktorisanom obliku, izmnoživši zadate faktore, tako da dobiješ standardni oblik kvadratne funkcije, [inlmath]ax^2+bx+c[/inlmath]. Odredi njen oblik, tačku preseka s [inlmath]y[/inlmath]-osom, kao i položaj temena. Kad to uradiš, time će već pola zadatka biti rešeno...

Dobila sam:
[dispmath]y=-x^2-2x+8[/dispmath]
tacka preseka sa [inlmath]y[/inlmath]-osom: [dispmath]y=-0-2\cdot 0+8=8[/dispmath]
[dispmath]x_t=-\frac{b}{2a}=-1[/dispmath][dispmath]y_t=-1+2+8=9[/dispmath]
i dalje ne znam.

E, dobro. Da sad ne crtam skicu, to možeš i ti. Pošto se traži da funkcija bude bijekcija, a zadato je da interval sa koga se preslikava (tj. opseg promenljive [inlmath]x[/inlmath]) ide do [inlmath]+\infty[/inlmath], to znači da će on sigurno obuhvatati makar deo desnog kraka parabole. Leva granica tog intervala ne sme biti levo od temena parabole, jer bi u protivnom taj interval obuhvatao i deo levog kraka, pa funkcija ne bi bila injekcija, a samim tim ni bijekcija. Prema tome, [inlmath]a[/inlmath], kao leva granica intervala sa koga se preslikava, mora biti veće ili jednako [inlmath]x[/inlmath]-koordinati temena parabole, za koju si dobila da iznosi [inlmath]-1[/inlmath]. Međutim, pošto je zadat interval u koji se vrši preslikavanje, koji iznosi [inlmath]\left(-\infty,8\right][/inlmath], a [inlmath]8[/inlmath] je [inlmath]y[/inlmath]-koordinata preseka parabole s [inlmath]y[/inlmath]-osom, da bi funkcija bila bijekcija, mora interval s kojeg se preslikava da ide od [inlmath]y[/inlmath]-ose (tj. od [inlmath]x=0[/inlmath]) pa do [inlmath]+\infty[/inlmath]. Znači, [inlmath]a=0[/inlmath].
Kada bi bilo [inlmath]a<0[/inlmath], postojale bi vrednosti iz intervala [inlmath]\left[a,+\infty\right)[/inlmath] koje se ne bi preslikavale u zadati interval [inlmath]\left(-\infty,8\right][/inlmath], već bi se preslikavale u vrednosti koje su veće od [inlmath]8[/inlmath] (a manje ili jednake [inlmath]9[/inlmath], koliko iznosi maksimum te parabole), tako da zadati uslov ne bi bio zadovoljen i funkcija ne bi bila bijekcija.
Kada bi bilo [inlmath]a>0[/inlmath], tada bi postojale tačke iz intervala [inlmath]\left(-\infty,8\right][/inlmath] u koje se ne bi preslikavala nijedna tačka iz intervala [inlmath]\left[a,+\infty\right)[/inlmath], tako da funkcija ne bi bila surjekcija, a samim tim ni bijekcija.

---

P.S. Nema potrebe da [inlmath]y[/inlmath]-koordinatu preseka kvadratne funkcije s [inlmath]y[/inlmath]-osom računaš kao [inlmath]y=-0-2\cdot 0+8=8[/inlmath]. Kod kvadratne funkcije [inlmath]y=ax^2+bx+c[/inlmath] njen presek s [inlmath]y[/inlmath]-osom će uvek imati [inlmath]y[/inlmath]-koordinatu jednaku slobodnom članu, tj. [inlmath]c[/inlmath]. Prema tome, čim si dobila da ova kvadratna funkcija glasi [inlmath]y=-x^2-2x+8[/inlmath], odmah odatle vidiš, pošto je slobodan član jednak [inlmath]8[/inlmath], da će i [inlmath]y[/inlmath]-koordinata preseka kvadratne funkcije s [inlmath]y[/inlmath]-osom biti jednaka [inlmath]8[/inlmath].