Da li vi znate rjesavati zadatke sto se ticu linearne algebre, tipa matrica, cramerovog pravila, gaussa itd..

Pa pošalji neki konkretan zadatak pa ćemo videti, valjda će neko znati.

P.S. Napravio sam novu rubriku, „Linearna algebra“, i prebacio ovu temu u nju.

Evo zadatak ovako glasi:

U zavisnosti od parametra [inlmath]k[/inlmath] riješiti sistem:
[dispmath]\begin{array}{l}
2x+y+z=4\\
-kx+y+z=2\\
x+y-kz=-1
\end{array}[/dispmath]

Da li je zadato koji metod treba primeniti, ili je svejedno?

Treba ga riješiti preko determinanti, samo to

Znači, pomoću Kramerovih formula?
Prvo odredimo determinantu sistema, tako što u nju upisujemo koeficijente uz promenljive, i to tako da svaka vrsta predstavlja po jednu jednačinu, a svaka kolona po jednu promenljivu:
[dispmath]\Delta=\left|\begin{matrix}
2 & 1 & 1 \\
-k & 1 & 1 \\
1 & 1 & -k
\end{matrix}\right|[/dispmath]
Pa je, zatim, rešavamo:
[dispmath]\Delta=2\left(-k-1\right)-\left(k^2-1\right)+\left(-k-1\right)[/dispmath]
[dispmath]\Delta=-k^2-3k-2[/dispmath]
[dispmath]\Delta=-\left(k+1\right)\left(k+2\right)[/dispmath]
Promenljive ćemo naći prema formulama
[dispmath]x=\frac{\Delta_x}{\Delta}[/dispmath]
[dispmath]y=\frac{\Delta_y}{\Delta}[/dispmath]
[dispmath]z=\frac{\Delta_z}{\Delta}[/dispmath]
gde je
[inlmath]\Delta_x[/inlmath] – determinanta koja se dobije zamenom elemenata prve kolone rešenjima ovog sistema;
[inlmath]\Delta_y[/inlmath] – determinanta koja se dobije zamenom elemenata druge kolone rešenjima ovog sistema;
[inlmath]\Delta_z[/inlmath] – determinanta koja se dobije zamenom elemenata treće kolone rešenjima ovog sistema.
[dispmath]\Delta_x=\left|\begin{matrix}
4 & 1 & 1 \\
2 & 1 & 1 \\
-1 & 1 & -k
\end{matrix}\right|[/dispmath]
[dispmath]\Delta_x=4\left(-k-1\right)-\left(-2k+1\right)+\left(2+1\right)[/dispmath]
[dispmath]\Delta_x=-2k-2[/dispmath]
[dispmath]\Delta_x=-2\left(k+1\right)[/dispmath]

[dispmath]\Delta_y=\left|\begin{matrix}
2 & 4 & 1 \\
-k & 2 & 1 \\
1 & -1 & -k
\end{matrix}\right|[/dispmath]
[dispmath]\Delta_y=2\left(-2k+1\right)-4\left(k^2-1\right)+\left(k-2\right)[/dispmath]
[dispmath]\Delta_y=-4k^2-3k+4[/dispmath]

[dispmath]\Delta_z=\left|\begin{matrix}
2 & 1 & 4 \\
-k & 1 & 2 \\
1 & 1 & -1
\end{matrix}\right|[/dispmath]
[dispmath]\Delta_z=2\left(-1-2\right)-\left(k-2\right)+4\left(-k-1\right)[/dispmath]
[dispmath]\Delta_z=-5k-8[/dispmath]

[dispmath]x=\frac{\Delta_x}{\Delta}=\frac{-2\left(k+1\right)}{-\left(k+1\right)\left(k+2\right)}=\frac{2}{k+2}[/dispmath]
[dispmath]y=\frac{\Delta_y}{\Delta}=\frac{-4k^2-3k+4}{-\left(k+1\right)\left(k+2\right)}=\frac{4k^2+3k-4}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}[/dispmath]
[dispmath]z=\frac{\Delta_z}{\Delta}=\frac{-5k-8}{-\left(k+1\right)\left(k+2\right)}=\frac{5k+8}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}[/dispmath]

Za [inlmath]\Delta=0[/inlmath] sistem neće imati rešenja, a to će se desiti kada je
[inlmath]\Delta=-\left(k+1\right)\left(k+2\right)=0[/inlmath]
tj. kada je
[inlmath]k=-1\quad\lor\quad k=-2[/inlmath]
jer bi u tom slučaju jednačine bile međusobno protivrečne, što se može i videti ako bismo neku od ove dve vrednosti uvrstili u sistem umesto parametra [inlmath]k[/inlmath].

Hvala LEGENDO