Evo imam i iz logike par zadataka!!
1. Treba dokazati:
___a) [inlmath](A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C)[/inlmath]
___b) [inlmath]P(A\cap B)=P(A)\cap P(B)[/inlmath]
2. Dokazati da je skup [inlmath]\mathbb{Z}[/inlmath] prebrojiv!
3. Pokazati da skup [inlmath]A=[0,1)[/inlmath] nije prebrojiv.
4. Pokazati da je [inlmath]k(\mathbb{R})=\mathfrak{c}[/inlmath] (Skup [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath] ima moc kontinuma)

Evo od mene rešenja za 1.a) i 3.
Za 1.b) ne razumem formulaciju.

Pedagoski_Matematika je napisao:1. Treba dokazati:
___a) [inlmath](A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C)[/inlmath]

[dispmath]x\in\left(A\cup B\right)\cup C\quad\Leftrightarrow\quad x\in\left(A\cup B\right)\:\vee\: x\in C\quad\Leftrightarrow[/dispmath]
[dispmath]\Leftrightarrow\quad\left(x\in A\:\vee\: x\in B\right)\:\vee\: x\in C\quad\Leftrightarrow\quad x\in A\:\vee\: x\in B\:\vee\: x\in C\quad\Leftrightarrow\quad x\in A\:\vee\:\left(x\in B\:\vee\: x\in C\right)\quad\Leftrightarrow[/dispmath]
[dispmath]\Leftrightarrow\quad x\in A\:\vee\: x\in\left(B\cup C\right)\quad\Leftrightarrow\quad x\in A\cup\left(B\cup C\right)[/dispmath]

Pedagoski_Matematika je napisao:3. Pokazati da skup [inlmath]A=[0,1)[/inlmath] nije prebrojiv.

Pretpostavimo suprotno, da je skup [inlmath]A=\left[0,1\right)[/inlmath] prebrojiv, tj. da je od svih njegovih elemenata moguće formirati niz [inlmath]a_n[/inlmath].
Svaki realan broj u intervalu [inlmath]\left[0,1\right)[/inlmath] možemo napisati u decimalnom obliku, tj. u obliku nule, decimalnog zareza i beskonačnog broja decimala, tako da niz [inlmath]a_n[/inlmath] možemo pisati u sledećem obliku:

[inlmath]a_1=0,a_{11}a_{12}\cdots a_{1n}\cdots[/inlmath]
[inlmath]a_2=0,a_{21}a_{22}\cdots a_{2n}\cdots[/inlmath]
[inlmath]\vdots[/inlmath]
[inlmath]a_m=0,a_{m1}a_{m2}\cdots a_{mn}\cdots[/inlmath]
[inlmath]\vdots[/inlmath]

gde elementi [inlmath]a_{mn}[/inlmath] predstavljaju neku od cifara od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]9[/inlmath].
Sada ćemo kreirati broj [inlmath]b[/inlmath] oblika
[inlmath]b=0,b_1 b_2\cdots b_n\cdots[/inlmath]
gde [inlmath]b_n[/inlmath] može biti [inlmath]0[/inlmath] ili [inlmath]1[/inlmath], i to po sledećem pravilu:
ako je [inlmath]a_{nn}=0[/inlmath], tada je [inlmath]b_n=1[/inlmath]
ako je [inlmath]a_{nn}\ne 0[/inlmath], tada je [inlmath]b_n=0[/inlmath]
Drugim rečima, ako sve decimale brojeva iz niza [inlmath]a_n[/inlmath] posmatramo kao neku matricu, decimale broja [inlmath]b_n[/inlmath] formiramo na osnovu elemenata dijagonale te matrice, tako da odgovarajuća decimala broja [inlmath]b_n[/inlmath] nikad ne bude jednaka odgovarajućem elementu dijagonale posmatrane matrice.
S obzirom na našu pretpostavku da je skup [inlmath]A=\left[0,1\right)[/inlmath] prebrojiv, tj. da smo sve brojeve iz intervala [inlmath]A=\left[0,1\right)[/inlmath] obuhvatili nizom [inlmath]a_{nn}[/inlmath], broj [inlmath]b_n[/inlmath] bi, kao element skupa [inlmath]A=\left[0,1\right)[/inlmath], takođe trebalo da pripada nizu [inlmath]a_n[/inlmath], tj. da bude jednak jednom od njegovih članova. Međutim, zbog načina na koji smo formirali decimale broja [inlmath]b_n[/inlmath], on će se od svakog člana niza [inlmath]a_{nn}[/inlmath] razlikovati u najmanje jednoj decimali, pa, prema tome, neće pripadati nizu [inlmath]a_{nn}[/inlmath], čime smo došli do kontradikcije.

Prema tome, pretpostavka da je skup [inlmath]A=\left[0,1\right)[/inlmath] prebrojiv je pogrešna, odakle sledi da skup [inlmath]A=\left[0,1\right)[/inlmath] nije prebrojiv.
Q.E.D.

Evo i 2. zadatka (u 4. zadatku mi zaista nije jasno šta se traži, budući da, po definiciji, kardinalni broj skupa [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath] obeležavamo sa [inlmath]c[/inlmath] a čitamo kontinuum – a definicije se ne dokazuju ).

Pedagoski_Matematika je napisao:2. Dokazati da je skup [inlmath]\mathbb{Z}[/inlmath] prebrojiv!

Prema definiciji, ako je neki skup ekvpotentan sa skupom prirodnih brojeva [inlmath]\mathbb{N}[/inlmath], tada je taj skup prebrojiv.
Prema tome, da bismo dokazali da je skup [inlmath]\mathbb{Z}[/inlmath] prebrojiv, pokazaćemo da je on ekvipotentan sa skupom [inlmath]\mathbb{N}[/inlmath], tj. da postoji bijekcija između [inlmath]\mathbb{Z}[/inlmath] i [inlmath]\mathbb{N}[/inlmath]. Ili, drugim rečima, svaki element skupa [inlmath]\mathbb{Z}[/inlmath] se mora preslikavati u jedan i samo jedan element skupa [inlmath]\mathbb{N}[/inlmath].
Možemo definisati sledeće preslikavanje između [inlmath]\mathbb{Z}[/inlmath] i [inlmath]\mathbb{N}[/inlmath]:

[inlmath]\begin{matrix}
0 & \longleftrightarrow & 1 \\
-1 & \longleftrightarrow & 2 \\
1 & \longleftrightarrow & 3 \\
-2 & \longleftrightarrow & 4 \\
2 & \longleftrightarrow & 5 \\
\vdots \\
-n & \longleftrightarrow & 2n \\
n & \longleftrightarrow & 2n+1 \\
\vdots
\end{matrix}[/inlmath]

Pošto je ovo preslikavanje bijekcija, samim tim je i skup celih brojeva [inlmath]\mathbb{Z}[/inlmath] prebrojiv.

Hvala ti puno!
Ujutro imam kolokvij pa bih te zamolila ako imas vremena da mi danas pokusas uraditi jos jedan zadatak koji cesto ponavlja na kolokviju!!
Zadatak glasi:
Inverzno preslikavanje je bijektivno. Dokazati!

Neka funkcija [inlmath]f[/inlmath] preslikava skup [inlmath]A[/inlmath] u skup [inlmath]B[/inlmath], a njoj inverzna funkcija, [inlmath]f^{-1}[/inlmath], preslikava skup [inlmath]B[/inlmath] u skup [inlmath]A[/inlmath].

Funkcija je bijekcija onda kada je istovremeno i injekcija i surjekcija. Dakle, da bismo dokazali da je [inlmath]f^{-1}[/inlmath] bijekcija, treba dokazati da je ona i injekcija i surjekcija.

Pretpostavimo, prvo, da [inlmath]f^{-1}[/inlmath] nije injekcija. Tada [inlmath]\exists\:\left.y_1,y_2\right|\:y_1\ne y_2\:\wedge\: x_1=f^{-1}\left(y_1\right)=f^{-1}\left(y_2\right)=x_2[/inlmath], ali pošto važi [inlmath]x_1=x_2\:\:\Rightarrow\:\:y_1=f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)=y_2[/inlmath], time smo došli do kontradikcije, pa zaključujemo da [inlmath]f^{-1}[/inlmath] jeste injekcija.

Pretpostavimo, zatim, da [inlmath]f^{-1}[/inlmath] nije surjekcija. Tada postoji [inlmath]x_0\in A[/inlmath] takav da se u njega funkcijom [inlmath]f^{-1}[/inlmath] ne preslikava nijedan element [inlmath]y\in B[/inlmath]. Međutim, pošto [inlmath]f\left(x_0\right)=y_0[/inlmath] i [inlmath]y_0\in B[/inlmath], time smo došli do kontradikcije. Prema tome, zaključujemo da [inlmath]f^{-1}[/inlmath] jeste surjekcija.

Pošto smo dokazali da je [inlmath]f^{-1}[/inlmath] i injekcija i surjekcija, dokazali smo i da je bijekcija.

Hvala ti jos jednom... Pozz!!