Opšti član [inlmath]a_n[/inlmath] predstavlja sumu geometrijske progresije [inlmath]\left(\frac{1}{2}\right)^1+\left(\frac{1}{2}\right)^2+\cdots +\left(\frac{1}{2}\right)^n[/inlmath].

Suma geometrijske progresije računa se po formuli
[dispmath]S_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q}[/dispmath]
gde je:
[inlmath]a_1[/inlmath] – prvi član niza,
[inlmath]q[/inlmath] - odnos dva susedna člana niza [inlmath]\left(\frac{a_{n+1}}{a_n}\right)[/inlmath],
[inlmath]n[/inlmath] – broj članova niza.

Ovde treba da znaš i to, da je [inlmath]65536=2^{16}[/inlmath].

Ovako, [inlmath]q=0.5[/inlmath] pa kad se zameni u formulu dobijamo [dispmath]a_n=\frac{2^n-1}{2^n}[/dispmath]Koji je to niz u pitanju? Geometrijski ili aritmeticki.

To sad nije ni geometrijski ni aritmetički niz, ali to nije ni bitno za rešavanje zadatka.

Pošto pitanje glasi koliko članova niza je manje od [inlmath]\frac{65535}{65536}[/inlmath], treba sad da postaviš uslov da je [inlmath]a_n<\frac{65535}{65536}[/inlmath] i da odatle nađeš koliko je [inlmath]n[/inlmath].

Kako je [dispmath]2^{16}=65536[/dispmath] imamo [inlmath]15[/inlmath] clanova koji zadovoljavaju uslov.

Dakle, [inlmath]n[/inlmath]-ti član ovog niza je:
[dispmath]a_n=\frac{2^n-1}{2^n}[/dispmath]
Broj [inlmath]\frac{65535}{65536}[/inlmath] je u stvari jednak broju [inlmath]\frac{2^{16}-1}{2^{16}}[/inlmath]

Treba nam broj članova ovog niza, takvih da je [inlmath]a_n<\frac{2^{16}-1}{2^{16}}[/inlmath] tj. da:
[dispmath]\frac{2^n-1}{2^n}<\frac{2^{16}-1}{2^{16}}[/dispmath]
Ovo važi za [inlmath]n<16[/inlmath], odnosno za prvih [inlmath]15[/inlmath] članova.

Inače, ne mogu a da ne prokomentarišem... Kad god vidim sumu ove geometrijske progresije, [inlmath]\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2+\cdots +\left(\frac{1}{2}\right)^n[/inlmath] (koja za [inlmath]n\to\infty[/inlmath] teži jedinici), uvek se setim ove šaljive ilustracije.

Brojevi [inlmath]a_1,a_2,\dots a_n[/inlmath] cine aritmeticku progresiju. Poznato je da je zbir clanova ove aritmeticke progresije sa neparnim indeksima za [inlmath]15[/inlmath] veci od zbira clanova sa parnim indeksima. Ako je [inlmath]a_{20}=3a_9[/inlmath] onda je zbir cifara srednjeg clana ove progresije jednak?

[inlmath]S_1[/inlmath] je prvi pomenuti zbir
[inlmath]S_2[/inlmath] je drugi zbir
[dispmath]S_1=\frac{10}{2}\cdot(a_2+a_{20})[/dispmath][dispmath]S_2=\frac{11}{2}\cdot(a_1+a_{21})[/dispmath]
Dalje, prema uslovu, [inlmath]S_1-S_2=15[/inlmath]
Kada to zamenim, dobijem jednacinu [dispmath]2a_1+20d=-30[/dispmath]
Zamenom u drugi uslov [inlmath]a_{20}=3a_9[/inlmath] dobija se
[dispmath]a_1+19d=3a_1+24d[/dispmath]
I na kraju kad se sredi:[dispmath]2a_1+5d=0[/dispmath]
Preostaje sistem:[dispmath]2a_1+20d=-30\\2a_1+5d=0[/dispmath]
Ja sam dobio da je [inlmath]d=-2[/inlmath] a [inlmath]a_1=5[/inlmath].
A srednji clan je [dispmath]a_{11}=-15[/dispmath]
Trazeni zbir njegovih cifara je [inlmath]6[/inlmath].
I u resenju je zbir [inlmath]6[/inlmath]. ali su oni dobili da je[dispmath]a_1=-5\\d=2[/dispmath]
Pa da li je ovo moje resenje tacno?

Iz teksta zadatka nije jasno koliko niz ima članova, a to je podatak bez kojeg zadatak nije moguće rešiti, jer se dobije sistem od dve jednačine s tri nepoznate.
Iz teksta je jedino jasno da je broj članova niza neparan, budući da se spominje srednji član.
Međutim, ti si radio kao da je zadato da niz ima [inlmath]21[/inlmath] član, pa ću pretpostaviti da taj podatak jeste zadat, a da si zaboravio da ga navedeš u tekstu zadatka.

Imaš grešku ovde:

Miladin Jovic je napisao:[inlmath]S_1[/inlmath] je prvi pomenuti zbir
[inlmath]S_2[/inlmath] je drugi zbir
[dispmath]S_1=\frac{10}{2}\cdot(a_2+a_{20})[/dispmath][dispmath]S_2=\frac{11}{2}\cdot(a_1+a_{21})[/dispmath]

[inlmath]S_1[/inlmath] si računao kao sumu parnih članova, a [inlmath]S_2[/inlmath] si računao kao sumu neparnih članova, a treba upravo obrnuto. Znači,
[dispmath]S_1=\frac{11}{2}\cdot\left(a_1+a_{21}\right)[/dispmath][dispmath]S_2=\frac{10}{2}\cdot\left(a_2+a_{20}\right)[/dispmath]
I, kad se samo to ispravi i sve sračuna, dobije se upravo ono što piše u rešenju.

Da, u pravu si. Niz ima [inlmath]21[/inlmath] clan i hvala puno.

Kako bi se ovaj zadatak resio:
Dat je niz [inlmath]a_1=2,\:a_2=3,\:a_3=6,\:a_4=11,\:a_5=18,\ldots[/inlmath] takav da razlike uzastopnih clanova obrazuju aritmeticki niz. Tada je:
A) [inlmath]240\:000<a_{500}<245\:000[/inlmath]
B) [inlmath]245\:000<a_{500}<250\:000[/inlmath]
C) [inlmath]250\:000<a_{500}<255\:000[/inlmath]
D) [inlmath]255\:000<a_{500}<260\:000[/inlmath]
E) [inlmath]260\:000>a_{500}<265\:000[/inlmath]

Ja sam formirao taj aritmeticki niz :
[dispmath]1,3,5,7,\ldots[/dispmath] i izracunao [inlmath]a_{500}[/inlmath] tog niza:
[dispmath]a_{500}=999[/dispmath].
Ne znam kako da izracunam [inlmath]a_{500}[/inlmath] ovog prvog niza (a on nije ni aritmeticki a ni geometrijski).
Ja sam ovako poceo:
[dispmath]a_{501}-a_{500}= 999[/dispmath]
Ne znam da li je ovo tacno i da li je uopste upotrebljivo?