Index stranica ‹ OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ‹ GEOMETRIJA
Veza između težišnih duzi i stranica u pravouglom trouglu
Pregled za štampanje • Pregled za štampanje svih postova u temi • 8 Posta
• Stranica 1 od 1
Veza između težišnih duzi i stranica u pravouglom trouglu
od Miladin Jovic » Četvrtak, 10. April 2014, 21:54
Ako su [inlmath]t_a[/inlmath] i [inlmath]t_b[/inlmath] dužine težišnih duži koje odgovaraju redom katetama [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] pravouglog trougla onda je (tacan odgovor je [inlmath]0.5<\frac{t_a}{t_b}<2[/inlmath]). Kako se stize do toga?
Re: Veza između težišnih duzi i stranica u pravouglom trouglu
od Daniel » Petak, 11. April 2014, 01:00
Nacrtaj skicu. Na osnovu skice, napiši izraze za težišne duži [inlmath]t_a[/inlmath] i [inlmath]t_b[/inlmath] u zavisnosti od [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath], koristeći Pitagorinu teoremu.
Zatim to uvrsti u [inlmath]\frac{t_a}{t_b}[/inlmath] i, posle malo sređivanja, trebalo bi da dobiješ
[dispmath]\frac{t_a}{t_b}=\sqrt{\frac{1+4\left(\frac{b}{a}\right)^2}{4+\left(\frac{b}{a}\right)^2}}[/dispmath]
Sad ćemo uvesti smenu [inlmath]\frac{b}{a}=t[/inlmath] i taj izraz će postati
[dispmath]\frac{t_a}{t_b}=\sqrt{\frac{1+4t^2}{4+t^2}},\quad 0<t<+\infty[/dispmath]
i dalje ga transformišemo na sledeći način:
[dispmath]\frac{t_a}{t_b}=\sqrt{\frac{16+4t^2-15}{4+t^2}}=\sqrt{\frac{4\left(4+t^2\right)-15}{4+t^2}}=\sqrt{4-\frac{15}{4+t^2}}[/dispmath]
Vidimo da će taj izraz biti minimalan onda kada je [inlmath]t[/inlmath] minimalno, a maksimalan onda kada je [inlmath]t[/inlmath] maksimalno. Ostalo ti je samo da uvrstiš u taj izraz minimalnu i maksimalnu vrednost [inlmath]t[/inlmath], znajući da je [inlmath]0<t<+\infty[/inlmath] i odatle ćeš naći u kojim se granicama mora nalaziti [inlmath]\frac{t_a}{t_b}[/inlmath].
Zatim to uvrsti u [inlmath]\frac{t_a}{t_b}[/inlmath] i, posle malo sređivanja, trebalo bi da dobiješ
[dispmath]\frac{t_a}{t_b}=\sqrt{\frac{1+4\left(\frac{b}{a}\right)^2}{4+\left(\frac{b}{a}\right)^2}}[/dispmath]
Sad ćemo uvesti smenu [inlmath]\frac{b}{a}=t[/inlmath] i taj izraz će postati
[dispmath]\frac{t_a}{t_b}=\sqrt{\frac{1+4t^2}{4+t^2}},\quad 0<t<+\infty[/dispmath]
i dalje ga transformišemo na sledeći način:
[dispmath]\frac{t_a}{t_b}=\sqrt{\frac{16+4t^2-15}{4+t^2}}=\sqrt{\frac{4\left(4+t^2\right)-15}{4+t^2}}=\sqrt{4-\frac{15}{4+t^2}}[/dispmath]
Vidimo da će taj izraz biti minimalan onda kada je [inlmath]t[/inlmath] minimalno, a maksimalan onda kada je [inlmath]t[/inlmath] maksimalno. Ostalo ti je samo da uvrstiš u taj izraz minimalnu i maksimalnu vrednost [inlmath]t[/inlmath], znajući da je [inlmath]0<t<+\infty[/inlmath] i odatle ćeš naći u kojim se granicama mora nalaziti [inlmath]\frac{t_a}{t_b}[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Re: Veza između težišnih duzi i stranica u pravouglom trouglu
od Miladin Jovic » Subota, 12. April 2014, 15:50
A mislite na Pitagorinu teoremu za ceo trougao? Gde mi imamo ugao od [inlmath]90[/inlmath] stepeni? Tezisne duzi nisu normalne na odgovarajucu stranicu, zar ne?
Re: Veza između težišnih duzi i stranica u pravouglom trouglu
od Daniel » Subota, 12. April 2014, 15:53
Ne, ne mislimo na Pitagorinu teoremu za ceo trougao. Nacrtaj skicu (ako već nisi) i videćeš da svaka težišna duž deli pravougli trougao na dva trougla, od kojih je jedan tupougli, a drugi pravougli. E, Pitagorinu teoremu treba da primeniš na taj drugi, pravougli trougao – težišna duž će biti njegova hipotenuza.
Nisu, ako trougao nije jednakokraki. Ako jeste, tada je težišna duž koja odgovara osnovici jednakokrakog trougla normalna na osnovicu.
Miladin Jovic je napisao:Tezisne duzi nisu normalne na odgovarajucu stranicu, zar ne?
Nisu, ako trougao nije jednakokraki. Ako jeste, tada je težišna duž koja odgovara osnovici jednakokrakog trougla normalna na osnovicu.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Re: Veza između težišnih duzi i stranica u pravouglom trouglu
od Milovan » Subota, 12. April 2014, 16:43
Dakle, iz tih pravouglih trouglova koje čine težina duž, pola jedne stranice i cela druga dobijaš sledeće dve jednakosti:
[dispmath]{t_a}^2=\left(\frac{a}{2}\right)^2+b^2\\
{t_b}^2=\left(\frac{b}{2}\right)^2+a^2[/dispmath]
Odnos dužina težišnih duži:
[dispmath]\frac{{t_a}^2}{{t_b}^2}=\frac{\left(\frac{a}{2}\right)^2+b^2}{\left(\frac{b}{2}\right)^2+a^2}[/dispmath][dispmath]\frac{t_a}{t_b}=\sqrt{\frac{\left(\frac{a}{2}\right)^2+b^2}{\left(\frac{b}{2}\right)^2+a^2}}[/dispmath]
Podeli gornju i donju stranu potkorene vrednosti sa [inlmath]a^2[/inlmath], pomnoži i brojilac i imenilac sa [inlmath]4[/inlmath] i dobićeš obrazac od kojeg Daniel kreće u svom prvom odgovoru.
[dispmath]{t_a}^2=\left(\frac{a}{2}\right)^2+b^2\\
{t_b}^2=\left(\frac{b}{2}\right)^2+a^2[/dispmath]
Odnos dužina težišnih duži:
[dispmath]\frac{{t_a}^2}{{t_b}^2}=\frac{\left(\frac{a}{2}\right)^2+b^2}{\left(\frac{b}{2}\right)^2+a^2}[/dispmath][dispmath]\frac{t_a}{t_b}=\sqrt{\frac{\left(\frac{a}{2}\right)^2+b^2}{\left(\frac{b}{2}\right)^2+a^2}}[/dispmath]
Podeli gornju i donju stranu potkorene vrednosti sa [inlmath]a^2[/inlmath], pomnoži i brojilac i imenilac sa [inlmath]4[/inlmath] i dobićeš obrazac od kojeg Daniel kreće u svom prvom odgovoru.
Re: Veza između težišnih duzi i stranica u pravouglom trouglu
od Miladin Jovic » Nedelja, 13. April 2014, 15:49
Dobio sam tu nejednacinu, zamenio sam [inlmath]t[/inlmath] sa minimalnom vrednoscu, to je nula. A koja je maksimalna vrednost [inlmath]t[/inlmath] kad je [inlmath]0<t<+\infty[/inlmath]?
Re: Veza između težišnih duzi i stranica u pravouglom trouglu
od Milovan » Nedelja, 13. April 2014, 16:46
Kad [inlmath]t\to\infty[/inlmath] onda [inlmath]\frac{15}{4+t^2}\to 0[/inlmath], pa onda [inlmath]\sqrt{4-\frac{15}{4+t^2}}\to\sqrt{4}=2[/inlmath].
Re: Veza između težišnih duzi i stranica u pravouglom trouglu
od Daniel » Nedelja, 13. April 2014, 19:17
Miladin Jovic je napisao:Dobio sam tu nejednacinu, zamenio sam [inlmath]t[/inlmath] sa minimalnom vrednoscu, to je nula. A koja je maksimalna vrednost [inlmath]t[/inlmath] kad je [inlmath]0<t<+\infty[/inlmath]?
Zapravo, ako ćemo pravilno govoriti, [inlmath]t[/inlmath] nema ni minimalnu ni maksimalnu vrednost (i ja sam se tu bio loše izrazio u svom postu), već, budući da imamo znake strogih nejednakosti, [inlmath]0<t<+\infty[/inlmath], u pitanju su vrednosti koje nisu minimalna i maksimalna vrednost [inlmath]t[/inlmath], već su to vrednosti između kojih se nalazi vrednost [inlmath]t[/inlmath]. Svejedno, uvrstiš i jednu i drugu od tih vrednosti u taj izraz umesto [inlmath]t[/inlmath], kao što je Milovan i učinio za [inlmath]t\to +\infty[/inlmath], samo pri tome paziš da ti ostane znak stroge nejednakosti.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
8 Posta
• Stranica 1 od 1
Ko je OnLine
Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost