Sve strane paralelepipeda su rombovi duzine cije su stranice duzine [inlmath]a[/inlmath] i ostri uglovi [inlmath]60^\circ[/inlmath]. Izracunati povrsine dijagonalonih preseka tog paralelepipeda.
Da li neko ima ideju kako bi se uradio ovaj zadatak? Ja znam samo ovo da je dijagonala romba sa uglom od [inlmath]60^\circ[/inlmath] iznos[dispmath]d=a\cdot\sqrt{3}[/dispmath]

To je duža dijagonala, a druga (kraća) dijagonala tog romba iznosi [inlmath]a[/inlmath], tj. jednaka je dužini njegove stranice. To je i očigledno, ako romb podeliš tom njegovom kraćom dijagonalom i time dobiješ dva jednakostranična trougla stranice [inlmath]a[/inlmath].

Paralelepiped ima šest dijagonalnih preseka. Svaki od njih sam označio zelenkastom bojom na ovim slikama:


Tri od tih šest dijagonalnih preseka imaće stranice [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]a[/inlmath], dok će tri imati stranice [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]a\sqrt 3[/inlmath]. Ali, za izračunavanje njihovih površina potrebna nam je jedna njihova stranica i visina na tu stranicu.

Kod paralelograma na slici 1. posmatraš njegovu stranicu [inlmath]AD'[/inlmath] (koja iznosi [inlmath]a\sqrt 3[/inlmath]), a visina na tu stranicu biće jednaka visini pravilnog tetraedra stranice [inlmath]a[/inlmath], čija su temena [inlmath]A,B,A',D[/inlmath]. Potpuno je identičan postupak (a i isti se rezultat dobije) i za dijagonalne preseke na slikama 4. i 5.

Na slici 2. dijagonalni presek je kvadrat sa stranicom [inlmath]a[/inlmath], što se može dokazati ako se posmatra četvorostrana piramida čija su temena osnove [inlmath]B,C,D',A'[/inlmath], a vrh [inlmath]B'[/inlmath] – zbog podudarnosti jednakostraničnih trouglova koji čine njen omotač, zaključujemo da je piramida pravilna, a osnova pravilne četvorostrane piramide je kvadrat. Potpuno je identičan postupak (a i isti se rezultat dobije) i za dijagonalne preseke na slikama 3. i 6.