Može li netko pokušati naći točke infleksije i napisati intervale zakrivljenosti sljedeće funkcije:
[dispmath]f(x)=\sin x+\frac{1}{2}\sin 2x[/dispmath]

Prvo nađemo, naravno, drugi izvod (pretpostavljam da ti to nije bio problem):
[dispmath]f\left(x\right)=\sin x+\frac{1}{2}\sin 2x[/dispmath][dispmath]f\;'\!\left(x\right)=\cos x+\frac{1}{2}\cos 2x\cdot 2[/dispmath][dispmath]f\;'\!\left(x\right)=\cos x+\cos 2x[/dispmath][dispmath]f\;''\!\left(x\right)=-\sin x-\sin 2x\cdot 2[/dispmath][dispmath]f\;''\!\left(x\right)=-\sin x-2\sin 2x[/dispmath][dispmath]f\;''\!\left(x\right)=-\sin x-4\sin x\cos x[/dispmath][dispmath]f\;''\!\left(x\right)=-\sin x\left(1+4\cos x\right)[/dispmath]
Tačke infleksije:
[dispmath]f\;''\!\left(x\right)=0\quad\Leftrightarrow\quad\sin x=0\;\lor\; 1+4\cos x=0[/dispmath][dispmath]\sin x=0\;\lor\;\cos x=-\frac{1}{4}[/dispmath][dispmath]x=k\pi\;\lor\; x=\pi\pm\arccos\frac{1}{4}+2k\pi[/dispmath][dispmath]x=k\pi\;\lor\; x=\pm\arccos\frac{1}{4}+\left(2k+1\right)\pi[/dispmath]
Intervali zakrivljenosti:
Konveksna: [inlmath]f\;''\!\left(x\right)>0[/inlmath]
[dispmath]f\;''\!\left(x\right)>0\quad\Leftrightarrow\quad -\sin x\left(1+4\cos x\right)>0\quad\Leftrightarrow\quad\sin x\left(1+4\cos x\right)<0[/dispmath]
[inlmath]\left.1\right)[/inlmath]
[dispmath]\sin x>0\;\land\; 1+4\cos x<0[/dispmath][dispmath]\sin x>0\;\land\; \cos x<-\frac{1}{4}[/dispmath][dispmath]2k\pi<x<\pi+2k\pi\;\land\; \pi-\arccos\frac{1}{4}+2k\pi<x<\pi+\arccos\frac{1}{4}+2k\pi[/dispmath][dispmath]\pi-\arccos\frac{1}{4}+2k\pi<x<\pi+2k\pi[/dispmath]
[inlmath]\left.2\right)[/inlmath]
[dispmath]\sin x<0\;\land\; 1+4\cos x>0[/dispmath][dispmath]\sin x<0\;\land\; \cos x>-\frac{1}{4}[/dispmath][dispmath]-\pi+2k\pi<x<2k\pi\;\land\; -\pi+\arccos\frac{1}{4}+2k\pi<x<\pi-\arccos\frac{1}{4}+2k\pi[/dispmath][dispmath]-\pi+\arccos\frac{1}{4}+2k\pi<x<2k\pi[/dispmath]
I unija ova dva rešenja će biti
[dispmath]-\pi+\arccos\frac{1}{4}+2k\pi<x<2k\pi\quad\lor\quad\pi-\arccos\frac{1}{4}+2k\pi<x<\pi+2k\pi[/dispmath]
Intervali u kojima je funkcija konkavna biće oni intervali u kojima nije konveksna:
[dispmath]-\pi+2k\pi<x<-\pi+\arccos\frac{1}{4}+2k\pi\quad\lor\quad 2k\pi<x<\pi-\arccos\frac{1}{4}+2k\pi[/dispmath]