Nemam potpuno precizan tekst zadatka, ali bi trebalo otprilike da ovako glasi:

Odrediti [inlmath]\frac{z_1}{z_2}[/inlmath] ako je:
[dispmath]\frac{1+\cos x+i\sin x}{1+\cos x-i\sin x}[/dispmath]
Koristeci formule za polovinu ugla, radio sam: [dispmath]\frac{2\cos^2\frac{\alpha}{2}+2i\cos\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\alpha}{2}}{2\cos^2\frac{\alpha}{2}-2i\cos\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\alpha}{2}}[/dispmath]
[dispmath]\frac{2\cos\frac{\alpha}{2}\left(\cos\frac{\alpha}{2}+i\sin\frac{\alpha}{2}\right)}{2\cos\frac{\alpha}{2}\left(\cos\frac{\alpha}{2}-i\sin\frac{\alpha}{2}\right)}[/dispmath]
a zatim skracivanjem, racionalisanjem i formulama za dvostruki ugao dodjem do:
[dispmath]\cos\alpha+i\sin\alpha[/dispmath]
Drugaru je ovaj zadatak radio jedan profesor, kod koga ide na pripreme, na dosta komplikovaniji nacin, preko trigonometrijskog oblika kompleksinih brojeva. Na kraju je dobio rezultat
[dispmath]-\cos\alpha+i\sin\alpha[/dispmath]
Na ovaj moj nacin se ne moze uraditi, ili sam pogresio negde?

Tačno je da se izraz [inlmath]\frac{\cos\frac{\alpha}{2}+i\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}-i\sin\frac{\alpha}{2}}[/inlmath] može rešiti i preko trigonometrijskog oblika i ne bih se složio da je to komplikovaniji način – baš naprotiv, znatno je jednostavniji. Ipak, profesor je negde napravio grešku, jer i na način preko trigonometrijskog oblika treba da se dobije isti rezultat koji si i ti dobio.

Koristi se osobina kompleksnih brojeva zapisanih u trigonometrijskom obliku da je
[dispmath]\frac{\rho_1\left(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1\right)}{\rho_2\left(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2\right)}=\frac{\rho_1}{\rho_2}\left[\cos\left(\varphi_1-\varphi_2\right)+i\sin\left(\varphi_1-\varphi_2\right)\right][/dispmath]
Izraz [inlmath]\frac{\cos\frac{\alpha}{2}+i\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}-i\sin\frac{\alpha}{2}}[/inlmath] možeš transformisati na sledeći način:
[dispmath]\frac{\cos\frac{\alpha}{2}+i\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}-i\sin\frac{\alpha}{2}}=\frac{\cos\frac{\alpha}{2}+i\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\left(-\frac{\alpha}{2}\right)+i\sin\left(-\frac{\alpha}{2}\right)}=[/dispmath]
i onda primenimo prethodno opisanu osobinu,
[dispmath]=\cos\left[\frac{\alpha}{2}-\left(-\frac{\alpha}{2}\right)\right]+i\sin\left[\frac{\alpha}{2}-\left(-\frac{\alpha}{2}\right)\right]=\cos\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\alpha}{2}\right)+i\sin\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\alpha}{2}\right)=\enclose{box}{\cos\alpha+i\sin\alpha}[/dispmath]

---

Inače, izraz [inlmath]\frac{1+\cos\alpha+i\sin\alpha}{1+\cos\alpha-i\sin\alpha}[/inlmath] možeš sređivati i na treći način, tako što ga prvo racionališeš,
[dispmath]\frac{1+\cos\alpha+i\sin\alpha}{1+\cos\alpha-i\sin\alpha}\cdot\frac{1+\cos\alpha+i\sin\alpha}{1+\cos\alpha+i\sin\alpha}=\frac{\left(1+\cos\alpha\right)^2+i2\sin\alpha\left(1+\cos\alpha\right)-\sin^2\alpha}{\left(1+\cos\alpha\right)^2+\sin^2\alpha}=[/dispmath]
[inlmath]\sin^2\alpha[/inlmath] napišeš kao [inlmath]1-\cos^2\alpha[/inlmath], tj. kao [inlmath]\left(1-\cos\alpha\right)\left(1+\cos\alpha\right)[/inlmath],
[dispmath]=\frac{\left(1+\cos\alpha\right)^{\cancel 2}+i2\sin\alpha\cancel{\left(1+\cos\alpha\right)}-\left(1-\cos\alpha\right)\cancel{\left(1+\cos\alpha\right)}}{\left(1+\cos\alpha\right)^{\cancel 2}+\left(1-\cos\alpha\right)\cancel{\left(1+\cos\alpha\right)}}=\frac{\cancel 1+\cos\alpha+i2\sin\alpha-\cancel 1+\cos\alpha}{1+\cancel{\cos\alpha}+1-\cancel{\cos\alpha}}=[/dispmath][dispmath]=\frac{\cancel 2\cos\alpha+i\cancel 2\sin\alpha}{\cancel 2}=\enclose{box}{\cos\alpha+i\sin\alpha}[/dispmath]

Odlicno, hvala

Nisam najbolje savladao to predstavljanje u trigonometrijskom obliku, tako da mi ipak ovi nacini sa racionalisanjem ili "pretumbavanjem" deluju jednostavnije

Ja bih dodao ovde još jedan zadatak naizgled jako sličan ovom, medjutim radim ga sa ciljem da pokažem jedan lep način na koji se mogu iskoristiti posledice Ojlerove formule
[inlmath]\cos\varphi+i\sin\varphi=e^{i\varphi}[/inlmath]. Naime,
[dispmath]\cos\varphi+i\sin\varphi=e^{i\varphi}\\\cos(-\varphi)+i\sin(-\varphi)=e^{-i\varphi}\\\cos\varphi-i\sin\varphi=e^{-i\varphi}[/dispmath]
Ako saberemo prvu i trecu imamo
[dispmath]2\cos\varphi=e^{i\varphi}+e^{-i\varphi}\\\cos\varphi=\frac{e^{i\varphi}+e^{-i\varphi}}{2}[/dispmath]
Isto tako možemo rešiti za sinus tako što ćemo od prve oduzeti treću, naime
[dispmath]2i\sin\varphi=e^{i\varphi}-e^{-i\varphi}\\\sin\varphi=\frac{e^{i\varphi}-e^{-i\varphi}}{2i}[/dispmath]
Zadatak glasi: Kompleksan broj [inlmath]\frac{\cos\varphi+i\sin\varphi+1}{\cos\varphi+i\sin\varphi-1}[/inlmath] jednak je:
Pa bismo koristili Ojlera i pisali
[dispmath]\frac{e^{i\varphi}+1}{e^{i\varphi}-1}[/dispmath]
Sada mnozimo
[dispmath]\frac{e^{i\varphi}+1}{e^{i\varphi}-1}\cdot{\frac{e^{-i\frac{\varphi}{2}}}{e^{-i\frac{\varphi}{2}}}}\Leftrightarrow\frac{e^{i\frac{\varphi}{2}}+e^{-i\frac{\varphi}{2}}}{e^{i\frac{\varphi}{2}}-e^{-i\frac{\varphi}{2}}}[/dispmath]
U ovom trenutku vraćamo se na sinuse i kosinuse preko formula koje smo dobili na početku post-a
[dispmath]\frac{2\cos\frac{\varphi}{2}}{2i\sin\frac{\varphi}{2}}\Leftrightarrow\frac{\cancel{2}\cos\frac{\varphi}{2}}{\cancel{2}i\sin\frac{\varphi}{2}}\Leftrightarrow\frac{\cos\frac{\varphi}{2}}{i\sin\frac{\varphi}{2}}\cdot\frac{i}{i}[/dispmath]
I konačno kompleksan broj [inlmath]\frac{\cos\varphi+i\sin\varphi+1}{\cos\varphi+i\sin\varphi-1}[/inlmath] je jednak
[dispmath]\enclose{box}{-i\:\mathrm{ctg}\frac{\varphi}{2}}[/dispmath]