Prvi član geometrijske progresije je prirodan broj, zbir prvih [inlmath]n[/inlmath] članova na neparnim pozicijama [inlmath]65[/inlmath], a zbir prvih [inlmath]n[/inlmath] ćlanova na parnim pozicijama [inlmath]130[/inlmath]. Odrediti prvih [inlmath]2n[/inlmath] ćlanova te progresije.
Tu jedino što sam našao jeste da je količnik te progresije [inlmath]2[/inlmath]. Jer imamo [inlmath]S_1=a_1\cdot\frac{1-q^{2n}}{1-q^2}[/inlmath]. Takođe imamo [inlmath]S_2=a_2\cdot\frac{1-q^{2n}}{1-q^2}[/inlmath]. Kada se to podeli dobijamo [inlmath]2[/inlmath].
Ne zamerite, postavio sam malo više zadataka, ali kako je Matemanija opustela, dao sam to sebi za pravo.

Neka si.

Dakle, dobio si da je [inlmath]q=2[/inlmath], tj. kad to zameniš u neku od jednačina sistema, recimo u prvu,
[dispmath]a_1\cdot\frac{1-2^{2n}}{1-2^2}=65[/dispmath]
To, zatim, malo središ:
[dispmath]a_1\cdot\frac{1-4^n}{-3}=65[/dispmath][dispmath]a_1=\frac{3\cdot 65}{4^n-1}[/dispmath][dispmath]a_1=\frac{195}{4^n-1}[/dispmath]
U zadatku je rečeno da je [inlmath]a_1[/inlmath] prirodan broj. To znači da [inlmath]4^n-1[/inlmath] mora biti delilac broja [inlmath]195[/inlmath] i takođe mora biti [inlmath]4^n-1>0[/inlmath], kako bi [inlmath]a_1[/inlmath] bilo pozitivno, što je i uslov da bude prirodan broj.
Dakle, potrebno je naći pozitivne delioce broja [inlmath]195[/inlmath]. Njegovi prosti činioci su [inlmath]3[/inlmath], [inlmath]5[/inlmath] i [inlmath]13[/inlmath]. Njegovi pozitivni delioci će biti kombinacije proizvoda ovih brojeva: [inlmath]1[/inlmath], [inlmath]3[/inlmath], [inlmath]5[/inlmath], [inlmath]13[/inlmath], [inlmath]3\cdot 5=15[/inlmath], [inlmath]3\cdot 13=39[/inlmath], [inlmath]5\cdot 13=65[/inlmath] i, na kraju, i sâm broj [inlmath]195[/inlmath]. Proveravamo koji od njih se može zapisati u obliku izraza u imeniocu, [inlmath]4^n-1[/inlmath], gde je [inlmath]n[/inlmath], naravno, prirodan broj.
Drugim rečima, koji od ovih brojeva uvećanih za jedan, a to su [inlmath]2,4,6,14,16,40,66,196[/inlmath], može da se napiše kao stepen četvorke, [inlmath]4^n[/inlmath]. Vidimo da su to brojevi [inlmath]4[/inlmath] i [inlmath]16[/inlmath]. Prema tome, u prvom slučaju:
[dispmath]4^n=4\quad\Rightarrow\quad n=1\quad\Rightarrow\quad a_1=\frac{195}{4-1}=65[/dispmath]
U drugom slučaju:
[dispmath]4^n=16\quad\Rightarrow\quad n=2\quad\Rightarrow\quad a_1=\frac{195}{16-1}=13[/dispmath]

---

Provera:
[dispmath]n=1:\quad a_1=65,\quad a_2=a_1\cdot 2=130[/dispmath]
Suma jednog (i, u ovom slučaju, jedinog) člana na neparnim pozicijama (tj. na prvoj poziciji) iznosi [inlmath]65[/inlmath].
Suma jednog (i, u ovom slučaju, jedinog) člana na parnim pozicijama (tj. na drugoj poziciji) iznosi [inlmath]130[/inlmath].

[dispmath]n=2:\quad a_1=13,\quad a_2=a_1\cdot 2=26,\quad a_3=a_2\cdot 2=52,\quad a_4=a_3\cdot 2=104[/dispmath]
Suma prva [inlmath]2[/inlmath] člana na neparnim pozicijama (tj. na prvoj i na trećoj poziciji) iznosi [inlmath]13+52[/inlmath], tj. [inlmath]65[/inlmath].
Suma prva [inlmath]2[/inlmath] člana na parnim pozicijama (tj. na drugoj i na četvrtoj poziciji) iznosi [inlmath]26+104[/inlmath], tj. [inlmath]130[/inlmath].