Evo jednog limesa, ako ga netko može riješiti bez i sa L'H pravila.
[dispmath]\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(1-\cos x)}{3x^4}[/dispmath]
Index stranica ‹ MATEMATIČKA ANALIZA ‹ LIMESI
Riješiti limes bez i sa l'Hospital-ovim pravilom
Re: Riješiti limes bez i sa l'Hospital-ovim pravilom
od Daniel » Četvrtak, 31. Januar 2013, 22:34
Evo bez l'Hopitala:
[dispmath]\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos\left(1-\cos x\right)}{3x^4}=\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos\left(2\sin^2\frac{x}{2}\right)}{3x^4}=\lim_{x\to 0}\frac{2\sin^2\left(\sin^2\frac{x}{2}\right)}{3x^4}=[/dispmath]
[dispmath]=\lim_{x\to 0}\frac{2\sin^2\left(\sin^2\frac{x}{2}\right)}{\left(\sin^2\frac{x}{2}\right)^2}\cdot\frac{\left(\sin^2\frac{x}{2}\right)^2}{3x^4}=\frac{2}{3}\lim_{x\to 0}\left[\frac{\sin\left(\sin^2\frac{x}{2}\right)}{\sin^2\frac{x}{2}}\right]^2\cdot\frac{\sin^4\frac{x}{2}}{x^4}=\frac{2}{3}\cdot 1^2\lim_{x\to 0}\frac{\sin^4\frac{x}{2}}{x^4}=[/dispmath]
[dispmath]=\frac{2}{3}\lim_{x\to 0}\frac{\sin^4\frac{x}{2}}{16\left(\frac{x}{2}\right)^4}=\frac{1}{24}\lim_{x\to 0}\left(\frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^4=\frac{1}{24}[/dispmath]
Što se l'Hopital-a tiče, to ne bi trebalo da bude problem, tu već imaš jasna pravila. Možeš li napisati di je tačno zapelo?
[dispmath]\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos\left(1-\cos x\right)}{3x^4}=\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos\left(2\sin^2\frac{x}{2}\right)}{3x^4}=\lim_{x\to 0}\frac{2\sin^2\left(\sin^2\frac{x}{2}\right)}{3x^4}=[/dispmath]
[dispmath]=\lim_{x\to 0}\frac{2\sin^2\left(\sin^2\frac{x}{2}\right)}{\left(\sin^2\frac{x}{2}\right)^2}\cdot\frac{\left(\sin^2\frac{x}{2}\right)^2}{3x^4}=\frac{2}{3}\lim_{x\to 0}\left[\frac{\sin\left(\sin^2\frac{x}{2}\right)}{\sin^2\frac{x}{2}}\right]^2\cdot\frac{\sin^4\frac{x}{2}}{x^4}=\frac{2}{3}\cdot 1^2\lim_{x\to 0}\frac{\sin^4\frac{x}{2}}{x^4}=[/dispmath]
[dispmath]=\frac{2}{3}\lim_{x\to 0}\frac{\sin^4\frac{x}{2}}{16\left(\frac{x}{2}\right)^4}=\frac{1}{24}\lim_{x\to 0}\left(\frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^4=\frac{1}{24}[/dispmath]
Što se l'Hopital-a tiče, to ne bi trebalo da bude problem, tu već imaš jasna pravila. Možeš li napisati di je tačno zapelo?
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Re: Riješiti limes bez i sa l'Hospital-ovim pravilom
od eseper » Petak, 01. Februar 2013, 01:31
Zanima me četvrti limes u prvom redu, kako smo dobili [inlmath]\sin^2[/inlmath]? I dvojka ispred toga?
Nisam još probao L'H, nakon što ovo shvatim ću i to napraviti.
Nisam još probao L'H, nakon što ovo shvatim ću i to napraviti.
Re: Riješiti limes bez i sa l'Hospital-ovim pravilom
od Daniel » Petak, 01. Februar 2013, 01:36
Na osnovu formule za sinus polovine ugla:
[dispmath]\sin\frac{x}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}[/dispmath]
iz koje sledi
[dispmath]1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2}[/dispmath]
[dispmath]\sin\frac{x}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}[/dispmath]
iz koje sledi
[dispmath]1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2}[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Re: Riješiti limes bez i sa l'Hospital-ovim pravilom
od eseper » Petak, 01. Februar 2013, 11:39
Da, ali zašto se iz argumenta kosinusa izgubila dvojka?
Re: Riješiti limes bez i sa l'Hospital-ovim pravilom
od Milovan » Petak, 01. Februar 2013, 12:14
Baš zbog te formule.
[dispmath]1-\cos t=2\sin^2\frac{t}{2}[/dispmath]
Stavi da je [inlmath]t=2\sin^2\frac{x}{2}[/inlmath]
Dobijaš upravo to.
Argument kod ovog sinusa je duplo manji, zato se dvojka gubi...
[dispmath]1-\cos t=2\sin^2\frac{t}{2}[/dispmath]
Stavi da je [inlmath]t=2\sin^2\frac{x}{2}[/inlmath]
Dobijaš upravo to.
Argument kod ovog sinusa je duplo manji, zato se dvojka gubi...
Re: Riješiti limes bez i sa l'Hospital-ovim pravilom
od eseper » Petak, 01. Februar 2013, 12:45
Aha, shvatio sam.
Što se tiče L'H, da li da isto ubacujem formule za funkcije polovičnih argumenata ili je bolje bez toga, nego samo derivirati dok se to može i dok ne dobijem rješenje?
Što se tiče L'H, da li da isto ubacujem formule za funkcije polovičnih argumenata ili je bolje bez toga, nego samo derivirati dok se to može i dok ne dobijem rješenje?
Re: Riješiti limes bez i sa l'Hospital-ovim pravilom
od Daniel » Petak, 01. Februar 2013, 12:50
Ako se traži preko l'Hopital-a, onda kontam da ne treba primenjivati ništa drugo osim l'Hopital-a. Eventualno, neka uprošćavanja izraza između pojedinih primena l'Hopitala, kojih će u ovom zadataku biti ukupno 4, budući da u imeniocu imamo četvrti stepen [inlmath]x[/inlmath].
Eventualno, neka uprošćavanja izraza između pojedinih primena l'Hopitala, kojih će u ovom zadataku biti ukupno 4, budući da u imeniocu imamo četvrti stepen [inlmath]x[/inlmath].I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Re: Riješiti limes bez i sa l'Hospital-ovim pravilom
od eseper » Petak, 01. Februar 2013, 13:57
Gdje griješim? 
[dispmath]\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(1-\cos x)}{3x^4}=\left[\frac{0}{0}\right]^{L'H}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin(1-\cos x)\sin x}{12x^3}=\frac{1}{12}\lim_{x\to 0}\frac{\sin(1-\cos x)\sin x}{x^3}=[/dispmath]
[dispmath]=\left[\frac{0}{0}\right]^{L'H}=\frac{1}{12}\lim_{x\to 0}\frac{\cos(1-\cos x)\sin^2x+\cos x\sin(1-\cos x)}{3x^2}\cdots[/dispmath]
[dispmath]\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(1-\cos x)}{3x^4}=\left[\frac{0}{0}\right]^{L'H}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin(1-\cos x)\sin x}{12x^3}=\frac{1}{12}\lim_{x\to 0}\frac{\sin(1-\cos x)\sin x}{x^3}=[/dispmath]
[dispmath]=\left[\frac{0}{0}\right]^{L'H}=\frac{1}{12}\lim_{x\to 0}\frac{\cos(1-\cos x)\sin^2x+\cos x\sin(1-\cos x)}{3x^2}\cdots[/dispmath]
Re: Riješiti limes bez i sa l'Hospital-ovim pravilom
od Daniel » Petak, 01. Februar 2013, 14:04
Nigde.
Na dobrom si putu.
Na dobrom si putu.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
16 Posta
• Stranica 1 od 2 • 1, 2
Ko je OnLine
Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 8 gostiju