Data je funkcija [inlmath]f\left(x\right)=\frac{\sin x}{2+\cos x}[/inlmath], odrediti:
1. Definiciono podrucje
2. Parnost/Neparnost i periodicnost
3. Nule
4. Monotonost i znak
5. Ekstremne vrijednosti
6. Asimptote


Evo kako sam ja poceo da radim, pa ako neko moze da provjeri tacnost moga postupka, i ako je netacno da ispravi.

1. Definiciono podrucje ( podrucje gdje funkcija nije definisana )

[inlmath]\sin[/inlmath] i [inlmath]\cos[/inlmath] nisu definisani u domenu [inlmath]>-1[/inlmath] i [inlmath]<1[/inlmath] pa tako pisem, prvo za [inlmath]\sin[/inlmath],
[dispmath]\sin x>-1[/dispmath][dispmath]\sin x<1[/dispmath]
iz ova 2 uslova slijedi [inlmath]x\in\left(-1,1\right)[/inlmath]

Tako postavim usloz i za [inlmath]\sin[/inlmath]
[dispmath]2+\cos x>-1\;\Rightarrow\;\cos x>-3[/dispmath][dispmath]2+\cos x<1\;\Rightarrow\;\cos x>-1[/dispmath]
iz ova 2 uslova slijedi [inlmath]x\in\left(-3,-1\right)[/inlmath]

2. Parnost/Neparnost i periodicnost

Za parnost, odnosno, neparnost trazim [inlmath]f\left(-x\right)[/inlmath]
Tada, uvrstim to u prethodnu funkciju i dobijem [inlmath]\frac{\sin\left(-x\right)}{2+\cos\left(-x\right)}[/inlmath] i posto je sinus neparna, a cosinus parna funkcija dobijem da mi je [inlmath]f\left(-x\right)=\frac{-\sin x}{2+\cos x}[/inlmath] i dodajem komentar da funkcija nije ni parna ni neparna

* Periodicnost

Za periodicnost trazim [inlmath]f\left(x+T\right)=f\left(x\right)[/inlmath]
Iz ovoga slijedi, [inlmath]\frac{\sin\left(x+T\right)}{2+\cos\left(x+T\right)}=\frac{\sin x}{2+\cos x}[/inlmath]
Sada [inlmath](x+T)[/inlmath] radim po formuli i dobijem, [inlmath]\frac{\sin x\cdot\cos T+\cos x\cdot\sin T}{2+\cos x\cdot\cos T-\sin x\cdot\sin T}=\frac{\sin x}{2+\cos x}[/inlmath]
I da bi ovo rijesio trebaju mi neki clanovi da teze nekom broju da bi lijeva i desna strana bile jednake i tako dobijem da su mi [inlmath]\cos T=1[/inlmath] i [inlmath]\sin T=0[/inlmath] i tacka u kojoj su cosinus [inlmath]=1[/inlmath] i sinus [inlmath]=2[/inlmath] je tacka [inlmath]2\pi[/inlmath] i [inlmath]T=2\pi[/inlmath], znaci periodicnost funkcije je [inlmath]2\pi[/inlmath]

3. Nule

Ovde sam samo uzeo sinus da izjednacim sa nulom ( bar mislim da samo njega treba u nulama traziti ) jer nula funkcije je gdje funkcija sijece [inlmath]x[/inlmath]-osu, pa dobijem [inlmath]\sin x=0\;\Rightarrow\;x=2\pi[/inlmath]

4. Monotonost i znak

za monotonost trazim prvi izvod funkcije
[dispmath]f'\left(x\right)=\left(\frac{\sin x}{2+\cos x}\right)'[/dispmath]
I dobijem ( sad da ne pisem cijeli postupak ),
[dispmath]f'\left(x\right)=\frac{2\cos x+1}{\left(2+\cos x\right)^2}[/dispmath]
E sada za znak ( tj. da li funckija raste ili opada ) uradim 2 uslova, 1 kada mi je [inlmath]f'\left(x\right)>0[/inlmath] i tada funkcija raste, i 2 kada mi je [inlmath]f'\left(x\right)<0[/inlmath] i tada funkcija opada.
Pa tako dobijem,
[dispmath]f'\left(x\right)>0\;\Rightarrow\;\frac{2\cos x+1}{\left(2+\cos x\right)^2}>0\;\Rightarrow\;2\cos x+1>0\;\Rightarrow\;\cos x>-\frac{1}{2}[/dispmath]
i drugi uslov
[dispmath]f'\left(x\right)<0\;\Rightarrow\;\frac{2\cos x+1}{\left(2+\cos x\right)^2}<0\;\Rightarrow\;2\cos x+1<0\;\Rightarrow\;\cos x<-\frac{1}{2}[/dispmath]
I dobijem da mi funkcija u tacki [inlmath]-\frac{1}{2}[/inlmath] i raste i opada

5. Ekstremne vrijednosti

Ekstremne vrijednosti dobijem kada prvi izvod izjednacim sa nulom, pa tako imam [inlmath]\frac{2\cos x+1}{\left(2+\cos x\right)^2}=0[/inlmath] i kada uradim tu jednacinu dobijem da mi je [inlmath]\cos x=-\frac{1}{2}[/inlmath]

I sada pitanje, da li treba traziti asimptote za ovu funkciju?

P.S. znam da je tema preduga, ali ako neko ima vremena da procita ovo sve i provjeri bio bih veoma zahvalan.

Gosha je napisao:1. Definiciono podrucje ( podrucje gdje funkcija nije definisana )

[inlmath]\sin[/inlmath] i [inlmath]\cos[/inlmath] nisu definisani u domenu [inlmath]>-1[/inlmath] i [inlmath]<1[/inlmath] pa tako pisem, prvo za [inlmath]\sin[/inlmath],
[dispmath]\sin x>-1[/dispmath][dispmath]\sin x<1[/dispmath]
iz ova 2 uslova slijedi [inlmath]x\in\left(-1,1\right)[/inlmath]

Niti iz [inlmath]\sin x>-1[/inlmath] sledi [inlmath]x>-1[/inlmath], niti iz [inlmath]\sin x<1[/inlmath] sledi [inlmath]x<1[/inlmath]. Isto važi i za kosinus.
Nemoj mešati domen i kodomen. Domen sinusne i kosinusne funkcije su svi realni brojevi, a kodomen sinusne, kao i kosinusne funkcije, jeste [inlmath]\left[-1,1\right][/inlmath] (obrati pažnju na uglaste zagrade, tj. zatvoreni interval).

Pošto su i sinus i kosinus definisani za sve realne vrednosti promenljive [inlmath]x[/inlmath], zaključak je da domen ove funkcije predstavlja skup svih realnih brojeva.

Gosha je napisao:2. Parnost/Neparnost i periodicnost

Za parnost, odnosno, neparnost trazim [inlmath]f\left(-x\right)[/inlmath]
Tada, uvrstim to u prethodnu funkciju i dobijem [inlmath]\frac{\sin\left(-x\right)}{2+\cos\left(-x\right)}[/inlmath] i posto je sinus neparna, a cosinus parna funkcija dobijem da mi je [inlmath]f\left(-x\right)=\frac{-\sin x}{2+\cos x}[/inlmath] i dodajem komentar da funkcija nije ni parna ni neparna

Upravo iz toga dobijaš da funkcija jeste neparna:
[dispmath]f\left(-x\right)=\frac{-\sin x}{2+\cos x}=-\frac{\sin x}{2+\cos x}=-f\left(x\right)[/dispmath]
Periodičnost ti je OK.

Gosha je napisao:3. Nule

Ovde sam samo uzeo sinus da izjednacim sa nulom ( bar mislim da samo njega treba u nulama traziti ) jer nula funkcije je gdje funkcija sijece [inlmath]x[/inlmath]-osu, pa dobijem [inlmath]\sin x=0\;\Rightarrow\;x={\color{red}2}\pi[/inlmath]

Iz [inlmath]\sin x=0[/inlmath] sledi [inlmath]x=k\pi,\;k\in\mathbb{Z}[/inlmath], što jesu nule ove funkcije.

Gosha je napisao:4. Monotonost i znak

...

Pa tako dobijem,
[dispmath]f'\left(x\right)>0\;\Rightarrow\;\frac{2\cos x+1}{\left(2+\cos x\right)^2}>0\;\Rightarrow\;2\cos x+1>0\;\Rightarrow\;\cos x>-\frac{1}{2}[/dispmath]
i drugi uslov
[dispmath]f'\left(x\right)<0\;\Rightarrow\;\frac{2\cos x+1}{\left(2+\cos x\right)^2}<0\;\Rightarrow\;2\cos x+1<0\;\Rightarrow\;\cos x<-\frac{1}{2}[/dispmath]

Da, samo sad još treba te dve dobijene nejednačine da rešiš po [inlmath]x[/inlmath].

I, nisam video da si odradio znak funkcije. Odradio si znak prvog izvoda (što je isto što i monotonost) funkcije, ali ne i znak same funkcije, tj. u kojim intervalima ima pozitivnu, a u kojim negativnu vrednost...

Gosha je napisao:I dobijem da mi funkcija u tacki [inlmath]-\frac{1}{2}[/inlmath] i raste i opada

Ne, dobiješ da funkcija u tački u kojoj je [inlmath]\cos x=-\frac{1}{2}[/inlmath] stagnira, a da li u toj tački ima ekstremnu vrednost ili, možda, prevojnu tačku, to ispituješ drugim izvodom.

Gosha je napisao:5. Ekstremne vrijednosti

Ekstremne vrijednosti dobijem kada prvi izvod izjednacim sa nulom, pa tako imam [inlmath]\frac{2\cos x+1}{\left(2+\cos x\right)^2}=0[/inlmath] i kada uradim tu jednacinu dobijem da mi je [inlmath]\cos x=-\frac{1}{2}[/inlmath]

I, kao i za monotonost, sad to rešiš po [inlmath]x[/inlmath]...

Gosha je napisao:I sada pitanje, da li treba traziti asimptote za ovu funkciju?

Pošto domen funkcije predstavlja ceo skup realnih brojeva, tj. nema vrednosti u kojima nije definisana, znači da nema vertikalne asimptote. A čim je periodična, znači da nema ni horizontalne ni kose asimptote.

Hvala mnogo na odgovoru