Ovaj zadatak sam ovako rešio:
[dispmath]a_n=n\left[\ln\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^n\ln\frac{(k+1)^2}{k(k+2)}\right][/dispmath]
Korištenjem svojstva funkcije [inlmath]\ln x[/inlmath] i izvodom članova proizvoda dobijem:
[dispmath]a_n=n\left[\ln\frac{1}{2}+\ln\prod_{k=1}^n\frac{(k+1)^2}{k(k+2)}\right]=n\ln\left[\frac{1}{2}\cdot\prod_{k=1}^n\frac{(k+1)^2}{k(k+2)}\right]=\\
=n\ln\left[\frac{1}{2}\cdot\frac{2^2}{1\cdot3}\cdot\frac{3^2}{2\cdot4}\cdot\frac{4^2}{3\cdot5}\cdots\frac{(n-1)^2}{(n-2)n}\cdot\frac{n^2}{(n-1)(n+1)}\cdot\frac{(n+1)^2}{n(n+2)}\right][/dispmath]
Kraćenjem dobijem: [inlmath]a_n=n\ln\left(\frac{n+1}{n+2}\right)[/inlmath]
pa je zbog svojstva funkcije [inlmath]\ln x[/inlmath], tvrdnje teorema: neka su nizovi [inlmath]a_n[/inlmath] i [inlmath]b_n[/inlmath] konvergentni, tada vredi: ako za svaki [inlmath]n[/inlmath] vredi [inlmath]a_n>0[/inlmath] i ako je [inlmath]\lim a_n>0[/inlmath] tada je: [inlmath]\lim a_n^{b_n}=(\lim a_n)^{\lim b_n}[/inlmath],
posebno ako je [inlmath]b_n[/inlmath] stacionaran niz, [inlmath]b_n=x[/inlmath], tada je [inlmath]\lim(a_n)^x=(\lim a_n)^x[/inlmath]
i formule [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{-n}=e[/inlmath]
[dispmath]\lim_{x\to\infty}a_n=\lim_{x\to\infty}n\ln\left(\frac{n+1}{n+2}\right)=\lim_{x\to\infty}\ln\left(\frac{n+1}{n+2}\right)^n=[/dispmath][dispmath]=\lim_{x\to\infty}\ln\left[\left(1-\frac{1}{n+2}\right)^{-(n+2)}\right]^{-\frac{n}{n+2}}=\ln\left[\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{1}{n+2}\right)^{-(n+2)}\right]^{\lim\limits_{x\to\infty}\left(-\frac{n}{n+2}\right)}=[/dispmath][dispmath]\ln e^{-1}=-1[/dispmath]
Da li je tačno? Hvala.
