U pitanju je ovaj integral. Rješava se metodom parcijalne integracije. Koju god od formula da primjenim za parcijalnu integraciju uvijek dobijem još komplikovaniji integral. Poprilično se zakomplikuje. Sigurno ima neki fazon da se ovo skrati. Pokušavao sam ovako [inlmath]u=e^{3x}[/inlmath] i [inlmath]\mathrm dv=\cos2x\,\mathrm dx[/inlmath]
[dispmath]\int e^{3x}\cos2x\,\mathrm dx=[/dispmath]
Index stranica ‹ MATEMATIČKA ANALIZA ‹ INTEGRALI
Integral e^3xcos2xdx
Re: Integral e^3xcos2xdx
od Ilija » Četvrtak, 09. April 2015, 16:33
Ako se dobro secam ovo su tzv. kruzni integrali, gde ce sada biti [inlmath]\cos2x=u[/inlmath] i [inlmath]e^3x\,\mathrm dx=\mathrm dv[/inlmath].
The difference between stupidity and genius is that genius has its limits. — Albert Einstein
Re: Integral e^3xcos2xdx
od Gamma » Četvrtak, 09. April 2015, 16:48
Ovaj integral je stavljen u parcijalnu integraciju. Nigdje se kružni ne spominje.
Poslednji put menjao Gamma dana Četvrtak, 09. April 2015, 16:49, izmenjena samo jedanput
Re: Integral e^3xcos2xdx
od Ilija » Četvrtak, 09. April 2015, 16:49
Posto bi ovaj integral stalno vrteo parcijalnu integraciju, koristi se obrazac:
[dispmath]I=\frac{e^{ax}(a\cdot\sin bx-b\cdot\cos bx)}{a^2+b^2}+c[/dispmath] Ovde je [inlmath]a=3[/inlmath] i [inlmath]b=2[/inlmath].
[dispmath]I=\frac{e^{ax}(a\cdot\sin bx-b\cdot\cos bx)}{a^2+b^2}+c[/dispmath] Ovde je [inlmath]a=3[/inlmath] i [inlmath]b=2[/inlmath].
The difference between stupidity and genius is that genius has its limits. — Albert Einstein
Re: Integral e^3xcos2xdx
od Gamma » Četvrtak, 09. April 2015, 17:08
Sada je lako samo se primjeni taj obrazac. Može li malo detaljnije o tome obrazcu? Kako se to tačno zove? I zapravo kako se on izvodi?
Re: Integral e^3xcos2xdx
od Sinisa » Četvrtak, 09. April 2015, 17:22
ovaj zadatak se moze uraditi uz pomoc parcijalne integracije...
taj novi "podjednako" komplikovani integral sto dobijes opet rastavi parcijalnom integracijom, kada to uradis dobices pocetni integral... prati znak jednakosti, sve prebaci na jednu stranu i izrazi taj pocetni integral
taj novi "podjednako" komplikovani integral sto dobijes opet rastavi parcijalnom integracijom, kada to uradis dobices pocetni integral... prati znak jednakosti, sve prebaci na jednu stranu i izrazi taj pocetni integral
Re: Integral e^3xcos2xdx
od Ilija » Četvrtak, 09. April 2015, 17:37
Ako imamo integral u opstem obliku [inlmath]\int e^{ax}\sin bx\,\mathrm dx[/inlmath] resavao bi se parcijalnom:
[dispmath]\int e^{ax}\sin bx\,\mathrm dx=\begin{vmatrix}\sin bx=u & \hspace{2em}e^{ax}\,\mathrm dx=\mathrm dv\\ b\cos bx\,\mathrm dx=\mathrm du & \hspace{2em}\frac{1}{a}e^{ax}=v\end{vmatrix}[/dispmath][dispmath]=\sin bx\cdot\frac{1}{a}\cdot e^{ax}-\int\frac{1}{a}e^{ax}b\cos bx\,\mathrm dx=\frac{e^{ax}\sin bx}{a}-\frac{b}{a}\enclose{box}{\int e^{ax}\cos bx\,\mathrm dx}[/dispmath] Sad opet ide parcijalna na ovaj uokvireni integral, odakle se dobije pocetni integral, kao sto rece @Sinisa. To se zameni sa [inlmath]I[/inlmath] (sto je pocetni integral) i onda se to [inlmath]I[/inlmath]izrazi preko toga, malo sredi i dobije se obrazac koji sam na pocetku napisao, a koji moze da se koristi kod ovakvog tipa integrala.
[dispmath]\int e^{ax}\sin bx\,\mathrm dx=\begin{vmatrix}\sin bx=u & \hspace{2em}e^{ax}\,\mathrm dx=\mathrm dv\\ b\cos bx\,\mathrm dx=\mathrm du & \hspace{2em}\frac{1}{a}e^{ax}=v\end{vmatrix}[/dispmath][dispmath]=\sin bx\cdot\frac{1}{a}\cdot e^{ax}-\int\frac{1}{a}e^{ax}b\cos bx\,\mathrm dx=\frac{e^{ax}\sin bx}{a}-\frac{b}{a}\enclose{box}{\int e^{ax}\cos bx\,\mathrm dx}[/dispmath] Sad opet ide parcijalna na ovaj uokvireni integral, odakle se dobije pocetni integral, kao sto rece @Sinisa. To se zameni sa [inlmath]I[/inlmath] (sto je pocetni integral) i onda se to [inlmath]I[/inlmath]izrazi preko toga, malo sredi i dobije se obrazac koji sam na pocetku napisao, a koji moze da se koristi kod ovakvog tipa integrala.
The difference between stupidity and genius is that genius has its limits. — Albert Einstein
Re: Integral e^3xcos2xdx
od Sinisa » Četvrtak, 09. April 2015, 17:40
ja uvijek dok radim smisljam sta dalje, nikad nisam razmisljao o tome da radim preko opste formule... cini mi se jednostavnije ispisati 2 reda nego uciti formulu napamet 
Re: Integral e^3xcos2xdx
od desideri » Četvrtak, 09. April 2015, 18:01
Sinisa je napisao:ja uvijek dok radim smisljam sta dalje, nikad nisam razmisljao o tome da radim preko opste formule... cini mi se jednostavnije ispisati 2 reda nego uciti formulu napamet
Ovo mi se baš svidelo
.Termin "kružni integrali" jeste malo redak, ali se spominje. To znači da, primenjujući parcijalnu integraciju dva puta, dobijemo polazni integral. Slobodno interpretirano, posle dve parcijalne se dobije:
[dispmath]\int e^{3x}\cos2x\,\mathrm dx=\mbox{nešto1}+\mbox{nešto2}\int e^{3x}\cos2x\,\mathrm dx[/dispmath] Odavde je jasno da je:
[dispmath]\int e^{3x}\cos2x\,\mathrm dx=\frac{\mbox{nešto1}}{1-\mbox{nešto2}}[/dispmath] Nemojte me shvatiti bukvalno, ali u ovome je suština. Ne znam šta će uopšte neka formula za ovo, po meni je uputnije znati princip, uraditi dve parcijalne i dobiti rezultat.
Re: Integral e^3xcos2xdx
od Gamma » Četvrtak, 09. April 2015, 18:27
Nisam znao da to označava kružni integral. Ima neke logike, vrtimo se u krug Kada je spomenut kružni mene je odmah to asociralo tamo na dužinu kružnog luka. I bolje je ovako raditi nego učiti formulu napamet. Kada smo već kod toga kružnoga integrala ja sam kod ova integrala koristio iste oznake za smjenu [inlmath]t[/inlmath] i diferencijale. Sada ne znam kada bi to neko pregledao da li bi stvaralo neku zabunu? Koristio sam iste oznake namjerno jer se dobije odmah isti diferencijal [inlmath]\mathrm du[/inlmath].
Kada je spomenut kružni mene je odmah to asociralo tamo na dužinu kružnog luka. I bolje je ovako raditi nego učiti formulu napamet. Kada smo već kod toga kružnoga integrala ja sam kod ova integrala koristio iste oznake za smjenu [inlmath]t[/inlmath] i diferencijale. Sada ne znam kada bi to neko pregledao da li bi stvaralo neku zabunu? Koristio sam iste oznake namjerno jer se dobije odmah isti diferencijal [inlmath]\mathrm du[/inlmath].
19 Posta
• Stranica 1 od 2 • 1, 2
Ko je OnLine
Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 4 gostiju